Номер 2.9, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.9 a) $ \frac{x(x-2)}{x+3} > 0; $

б) $ \frac{x^2+6x}{x-2} \le 0; $

В) $ \frac{x(x+1)}{x-9} > 0; $

Г) $ \frac{x-5}{x^2+7x} \le 0. $

а) Решим неравенство $\frac{x(x-2)}{x+3} > 0$ методом интервалов.
1. Найдем нули числителя, приравняв его к нулю: $x(x-2) = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
2. Найдем нули знаменателя, которые являются точками разрыва функции: $x+3 = 0$, откуда $x_3 = -3$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому эта точка всегда будет исключена из решения ("выколота").
3. Отметим найденные точки на числовой оси: $-3$, $0$, $2$. Поскольку неравенство строгое ($>$), все точки будут выколотыми.
4. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знак выражения в каждом из них, подставив любое значение из интервала.
- Для интервала $(2, +\infty)$ возьмем $x=3$: $\frac{3(3-2)}{3+3} = \frac{3 \cdot 1}{6} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(0, 2)$ возьмем $x=1$: $\frac{1(1-2)}{1+3} = \frac{1 \cdot (-1)}{4} < 0$. Знак "-".
- Для интервала $(-3, 0)$ возьмем $x=-1$: $\frac{-1(-1-2)}{-1+3} = \frac{(-1) \cdot (-3)}{2} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(-\infty, -3)$ возьмем $x=-4$: $\frac{-4(-4-2)}{-4+3} = \frac{(-4) \cdot (-6)}{-1} < 0$. Знак "-".
5. Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть где стоит знак "+". Это $(-3, 0)$ и $(2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-3, 0) \cup (2, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{x^2+6x}{x-2} \le 0$.
1. Сначала разложим числитель на множители: $x^2+6x = x(x+6)$. Неравенство принимает вид: $\frac{x(x+6)}{x-2} \le 0$.
2. Найдем нули числителя: $x(x+6) = 0$, откуда $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эти точки входят в решение (будут "закрашенными").
3. Найдем нуль знаменателя: $x-2 = 0$, откуда $x_3 = 2$. Эта точка всегда исключается из решения (будет "выколотой").
4. Отметим точки на числовой оси: $-6$ (закрашенная), $0$ (закрашенная), $2$ (выколотая).
5. Точки разбивают ось на интервалы. Определим знаки выражения в них.
- Для интервала $(2, +\infty)$ возьмем $x=3$: $\frac{3(3+6)}{3-2} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(0, 2)$ возьмем $x=1$: $\frac{1(1+6)}{1-2} < 0$. Знак "-".
- Для интервала $(-6, 0)$ возьмем $x=-1$: $\frac{-1(-1+6)}{-1-2} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(-\infty, -6)$ возьмем $x=-7$: $\frac{-7(-7+6)}{-7-2} < 0$. Знак "-".
6. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le$), то есть где стоит знак "-". Учитывая, что точки $-6$ и $0$ входят в решение, получаем объединение интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [0, 2)$.

в) Решим неравенство $\frac{x(x+1)}{x-9} > 0$.
1. Нули числителя: $x(x+1)=0$, откуда $x_1=0$, $x_2=-1$.
2. Нуль знаменателя: $x-9=0$, откуда $x_3=9$.
3. Отмечаем точки на числовой оси. Неравенство строгое ($>$), поэтому все точки выколотые: $-1, 0, 9$.
4. Определим знаки выражения на интервалах: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 9)$, $(9, +\infty)$.
- Для интервала $(9, +\infty)$ возьмем $x=10$: $\frac{10(10+1)}{10-9} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(0, 9)$ возьмем $x=1$: $\frac{1(1+1)}{1-9} < 0$. Знак "-".
- Для интервала $(-1, 0)$ возьмем $x=-0.5$: $\frac{-0.5(-0.5+1)}{-0.5-9} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(-\infty, -1)$ возьмем $x=-2$: $\frac{-2(-2+1)}{-2-9} < 0$. Знак "-".
5. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").
Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (9, +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{x-5}{x^2+7x} \le 0$.
1. Разложим знаменатель на множители: $x^2+7x = x(x+7)$. Неравенство примет вид: $\frac{x-5}{x(x+7)} \le 0$.
2. Найдем нуль числителя: $x-5=0$, откуда $x_1=5$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка входит в решение (закрашенная).
3. Найдем нули знаменателя: $x(x+7)=0$, откуда $x_2=0$, $x_3=-7$. Эти точки всегда исключаются из решения (выколотые).
4. Отметим точки на числовой оси: $-7$ (выколотая), $0$ (выколотая), $5$ (закрашенная).
5. Определим знаки выражения в полученных интервалах.
- Для интервала $(5, +\infty)$ возьмем $x=6$: $\frac{6-5}{6(6+7)} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(0, 5)$ возьмем $x=1$: $\frac{1-5}{1(1+7)} < 0$. Знак "-".
- Для интервала $(-7, 0)$ возьмем $x=-1$: $\frac{-1-5}{-1(-1+7)} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(-\infty, -7)$ возьмем $x=-8$: $\frac{-8-5}{-8(-8+7)} < 0$. Знак "-".
6. Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак "-"). Учитывая, что точка $5$ входит в решение, получаем объединение интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (0, 5]$.