Номер 2.11, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.11 a) $x^2 + 4x + 3 \le 0;$

б) $8 - 2x \ge x^2;$

В) $-x^2 - 10 \le 7x;$

Г) $x^2 - 6x + 5 \ge 0.$

а) Решим неравенство $x^2 + 4x + 3 \le 0$.
Для начала найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, его можно решить с помощью теоремы Виета или через дискриминант.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1$
Графиком функции $y = x^2 + 4x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = -1$.
Неравенство $x^2 + 4x + 3 \le 0$ выполняется на том промежутке, где парабола находится ниже или на оси Ox. Это происходит между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением неравенства является отрезок $[-3, -1]$.
Ответ: $x \in [-3; -1]$.

б) Решим неравенство $8 - 2x \ge x^2$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:
$x^2 + 2x - 8 \le 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$
$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$
Графиком функции $y = x^2 + 2x - 8$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -4$ и $x = 2$.
Неравенство $x^2 + 2x - 8 \le 0$ выполняется, когда парабола находится ниже или на оси Ox, то есть между корнями, включая их.
Таким образом, решение неравенства — это отрезок $[-4, 2]$.
Ответ: $x \in [-4; 2]$.

в) Решим неравенство $-x^2 - 10 \le 7x$.
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:
$0 \le x^2 + 7x + 10$
Что эквивалентно $x^2 + 7x + 10 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = -2$
Графиком функции $y = x^2 + 7x + 10$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$), пересекающая ось Ox в точках $x = -5$ и $x = -2$.
Неравенство $x^2 + 7x + 10 \ge 0$ выполняется там, где парабола находится выше или на оси Ox. Это происходит на двух промежутках: левее меньшего корня и правее большего корня.
Решением является объединение промежутков $(-\infty, -5]$ и $[-2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [-2; +\infty)$.

г) Решим неравенство $x^2 - 6x + 5 \ge 0$.
Неравенство уже в стандартном виде. Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = 1$
$x_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5$
Графиком функции $y = x^2 - 6x + 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$), пересекающая ось Ox в точках $x = 1$ и $x = 5$.
Неравенство $x^2 - 6x + 5 \ge 0$ выполняется, когда парабола находится выше или на оси Ox. Это соответствует промежуткам левее корня 1 и правее корня 5, включая сами корни.
Решением является объединение промежутков $(-\infty, 1]$ и $[5, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$.