Номер 2.15, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.15 Укажите целые решения неравенства:

а) $-4x^2 + 15x + 4 > 0;$

б) $\frac{2x + 7}{x - 1} \le 0;$

в) $2x^2 - 7x + 3 \le 0;$

г) $\frac{x + 2}{22 - 4x} > 0.$

а) $-4x^2 + 15x + 4 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-4x^2 + 15x + 4 = 0$. Умножим обе части на -1, чтобы получить положительный старший коэффициент, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $4x^2 - 15x - 4 < 0$.

Найдем корни уравнения $4x^2 - 15x - 4 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -0.25$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

Графиком функции $y = 4x^2 - 15x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $4x^2 - 15x - 4 < 0$ выполняется между корнями. Таким образом, решение неравенства — это интервал $x \in (-0.25; 4)$.

Целые решения, принадлежащие этому интервалу: 0, 1, 2, 3.

Ответ: 0, 1, 2, 3.

б) $\frac{2x + 7}{x - 1} \le 0$

Для решения дробно-рационального неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $2x + 7 = 0$, откуда $x = -3.5$. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), эта точка является решением.

Нуль знаменателя: $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$. Эта точка не является решением, так как деление на ноль недопустимо (точка выколотая).

Эти точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак дроби в каждом интервале. Выражение $\frac{2x + 7}{x - 1}$ отрицательно на интервале $(-3.5; 1)$.

Таким образом, с учетом нестрогого знака, решение неравенства — это полуинтервал $x \in [-3.5; 1)$.

Целые числа, входящие в этот полуинтервал: -3, -2, -1, 0.

Ответ: -3, -2, -1, 0.

в) $2x^2 - 7x + 3 \le 0$

Это квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

Ветви параболы $y = 2x^2 - 7x + 3$ направлены вверх ($a=2 > 0$), поэтому неравенство $2x^2 - 7x + 3 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Решение: $x \in [0.5; 3]$.

Целые решения, принадлежащие этому отрезку: 1, 2, 3.

Ответ: 1, 2, 3.

г) $\frac{x + 2}{22 - 4x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

Нуль знаменателя: $22 - 4x = 0 \implies 4x = 22 \implies x = 5.5$.

Неравенство строгое ($>$), поэтому обе точки ($x=-2$ и $x=5.5$) не входят в решение (выколотые).

Точки -2 и 5.5 делят числовую ось на три интервала. Определим знак выражения в каждом из них. На интервале $(-2; 5.5)$ выражение положительно. Например, при $x=0$ получаем $\frac{2}{22} > 0$. На интервалах $(-\infty; -2)$ и $(5.5; +\infty)$ выражение отрицательно.

Решением неравенства является интервал $x \in (-2; 5.5)$.

Целые решения, принадлежащие этому интервалу: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.