Номер 2.16, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.16 a) $(2 - 3x)(3x + 2)(5 + 3x)(2x - 3) > 0;$

б) $(2x + 1)(1 - 2x)(x - 1)(2 - 3x) > 0;$

в) $(3x - 2)(5 - x)(x + 1)(2 - x) < 0;$

г) $(2x + 5)(4x + 3)(7 - 2x)(x - 3) < 0.$

а) $(2 - 3x)(3x + 2)(5 + 3x)(2x - 3) > 0$

Для решения неравенства методом интервалов приведем множители к виду, где коэффициент при $x$ положителен.

Заметим, что $(2 - 3x) = -(3x - 2)$. Подставим это в исходное неравенство:

$-(3x - 2)(3x + 2)(5 + 3x)(2x - 3) > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$(3x - 2)(3x + 2)(3x + 5)(2x - 3) < 0$

Теперь найдем корни уравнения, приравняв левую часть к нулю:

$(3x - 2)(3x + 2)(3x + 5)(2x - 3) = 0$

Корни уравнения:

$3x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{2}{3}$

$3x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{2}{3}$

$3x + 5 = 0 \Rightarrow x_3 = -\frac{5}{3}$

$2x - 3 = 0 \Rightarrow x_4 = \frac{3}{2}$

Отметим найденные корни на числовой оси в порядке возрастания: $-\frac{5}{3}$, $-\frac{2}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{2}$. Эти точки разбивают ось на пять интервалов.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(\frac{3}{2}, +\infty)$, например, при $x = 2$:

$(3 \cdot 2 - 2)(3 \cdot 2 + 2)(3 \cdot 2 + 5)(2 \cdot 2 - 3) = (4)(8)(11)(1) > 0$.

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах чередуются. Двигаясь справа налево, получаем: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$.

Нам нужно найти решение для неравенства $(3x - 2)(3x + 2)(3x + 5)(2x - 3) < 0$, то есть выбрать интервалы со знаком "минус".

Это интервалы $(-\frac{5}{3}, -\frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}, \frac{3}{2})$.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \frac{3}{2})$.

б) $(2x + 1)(1 - 2x)(x - 1)(2 - 3x) > 0$

Преобразуем множители, чтобы коэффициенты при $x$ были положительными:

$(1 - 2x) = -(2x - 1)$

$(2 - 3x) = -(3x - 2)$

Подставив в неравенство, получим:

$(2x + 1)(-(2x - 1))(x - 1)(-(3x - 2)) > 0$

$(2x + 1)(2x - 1)(x - 1)(3x - 2) > 0$

Найдем корни, приравняв левую часть к нулю:

$2x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -\frac{1}{2}$

$2x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{2}$

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_3 = 1$

$3x - 2 = 0 \Rightarrow x_4 = \frac{2}{3}$

Расположим корни на числовой оси: $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $1$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(1, +\infty)$, например, при $x=2$:

$(2 \cdot 2 + 1)(2 \cdot 2 - 1)(2 - 1)(3 \cdot 2 - 2) = (5)(3)(1)(4) > 0$.

Знаки в интервалах чередуются: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$.

Мы ищем решения для неравенства $> 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".

Это интервалы $(-\infty, -\frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$ и $(1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{2}{3}) \cup (1, +\infty)$.

в) $(3x - 2)(5 - x)(x + 1)(2 - x) < 0$

Преобразуем множители:

$(5 - x) = -(x - 5)$

$(2 - x) = -(x - 2)$

Подставляем в неравенство:

$(3x - 2)(-(x - 5))(x + 1)(-(x - 2)) < 0$

$(3x - 2)(x - 5)(x + 1)(x - 2) < 0$

Найдем корни уравнения:

$3x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{2}{3}$

$x - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_3 = -1$

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_4 = 2$

Расположим корни на числовой оси: $-1$, $\frac{2}{3}$, $2$, $5$.

Определим знак в интервале $(5, +\infty)$, взяв $x=6$:

$(3 \cdot 6 - 2)(6 - 5)(6 + 1)(6 - 2) = (16)(1)(7)(4) > 0$.

Знаки в интервалах чередуются: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$.

Мы ищем решения для неравенства $< 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "минус".

Это интервалы $(-1, \frac{2}{3})$ и $(2, 5)$.

Ответ: $x \in (-1, \frac{2}{3}) \cup (2, 5)$.

г) $(2x + 5)(4x + 3)(7 - 2x)(x - 3) < 0$

Преобразуем множитель $(7 - 2x) = -(2x - 7)$.

$(2x + 5)(4x + 3)(-(2x - 7))(x - 3) < 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$(2x + 5)(4x + 3)(2x - 7)(x - 3) > 0$

Найдем корни уравнения:

$2x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -\frac{5}{2}$

$4x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{3}{4}$

$2x - 7 = 0 \Rightarrow x_3 = \frac{7}{2}$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_4 = 3$

Расположим корни на числовой оси: $-\frac{5}{2}$, $-\frac{3}{4}$, $3$, $\frac{7}{2}$.

Определим знак в интервале $(\frac{7}{2}, +\infty)$, взяв $x=4$:

$(2 \cdot 4 + 5)(4 \cdot 4 + 3)(2 \cdot 4 - 7)(4 - 3) = (13)(19)(1)(1) > 0$.

Знаки в интервалах чередуются: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$.

Мы ищем решения для неравенства $> 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".

Это интервалы $(-\infty, -\frac{5}{2})$, $(-\frac{3}{4}, 3)$ и $(\frac{7}{2}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{5}{2}) \cup (-\frac{3}{4}, 3) \cup (\frac{7}{2}, +\infty)$.