Номер 2.19, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.19 a) $\frac{(x-1)(3x-2)}{5-2x} > 0;$

Б) $\frac{(2x+3)(2x+1)}{(x-1)(x-4)} \ge 0;$

В) $\frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(2x-1)(x+4)(3-x)} \le 0;$

Г) $\frac{7-x}{(3x-2)(2x+1)(x-4)} < 0.$

а) Решим неравенство $\frac{(x-1)(3x-2)}{5-2x} > 0$.
Для решения неравенства используем метод интервалов.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $x-1=0 \implies x=1$; $3x-2=0 \implies x=2/3$.
Нуль знаменателя: $5-2x=0 \implies x=5/2=2.5$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 2.5$.
2. Приведем неравенство к стандартному виду, чтобы все коэффициенты при $x$ были положительными. $5-2x = -(2x-5)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)(3x-2)}{-(2x-5)} > 0$.
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $\frac{(x-1)(3x-2)}{2x-5} < 0$.
3. Отметим найденные точки на числовой оси: $2/3$, $1$, $2.5$. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

Определим знаки выражения на каждом интервале:
- При $x > 2.5$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
- При $1 < x < 2.5$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$.
- При $2/3 < x < 1$ (например, $x=0.8$): $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$.
- При $x < 2/3$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.
4. Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля.
Это интервалы $(-\infty, 2/3)$ и $(1, 2.5)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2/3) \cup (1; 2.5)$.

б) Решим неравенство $\frac{(2x+3)(2x+1)}{(x-1)(x-4)} \ge 0$.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $2x+3=0 \implies x=-3/2=-1.5$; $2x+1=0 \implies x=-1/2=-0.5$. Так как неравенство нестрогое, эти точки включаются в решение.
Нули знаменателя: $x-1=0 \implies x=1$; $x-4=0 \implies x=4$. Эти точки исключаются из решения, так как на ноль делить нельзя.
2. Все множители в стандартном виде. Отметим точки на числовой оси. Точки $-1.5$ и $-0.5$ — закрашенные, а $1$ и $4$ — выколотые.

Определим знаки выражения на каждом интервале:
- При $x>4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
- При $1 < x < 4$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(+)}{(+)(-)} < 0$.
- При $-0.5 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(+)}{(-)(-)} > 0$.
- При $-1.5 < x < -0.5$ (например, $x=-1$): $\frac{(+)(-)}{(-)(-)} < 0$.
- При $x < -1.5$ (например, $x=-2$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.
3. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Это интервалы $(-\infty, -1.5]$, $[-0.5, 1)$ и $(4, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1.5] \cup [-0.5; 1) \cup (4; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(2x-1)(x+4)(3-x)} \le 0$.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $x=-1, x=-2, x=-3$. Эти точки включаются в решение.
Нули знаменателя: $x=1/2, x=-4, x=3$. Эти точки исключаются из решения.
2. Приведем множитель $(3-x)$ к стандартному виду: $3-x = -(x-3)$.
Неравенство: $\frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(2x-1)(x+4)(-(x-3))} \le 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(2x-1)(x+4)(x-3)} \ge 0$.
3. Отметим точки на числовой оси: $-4, -3, -2, -1, 1/2, 3$. Точки $-3, -2, -1$ закрашенные, остальные — выколотые.

Определим знаки выражения на интервалах (справа налево, знаки чередуются):
- $(3, +\infty)$: +
- $(1/2, 3)$: -
- $(-1, 1/2)$: +
- $(-2, -1)$: -
- $(-3, -2)$: +
- $(-4, -3)$: -
- $(-\infty, -4)$: +
4. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Это интервалы $(-\infty, -4)$, $[-3, -2]$, $[-1, 1/2)$ и $(3, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup [-3; -2] \cup [-1; 0.5) \cup (3; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{7-x}{(3x-2)(2x+1)(x-4)} < 0$.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $7-x=0 \implies x=7$.
Нули знаменателя: $3x-2=0 \implies x=2/3$; $2x+1=0 \implies x=-1/2$; $x-4=0 \implies x=4$.
Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.
2. Приведем множитель $(7-x)$ к стандартному виду: $7-x = -(x-7)$.
Неравенство: $\frac{-(x-7)}{(3x-2)(2x+1)(x-4)} < 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{x-7}{(3x-2)(2x+1)(x-4)} > 0$.
3. Отметим точки на числовой оси: $-1/2, 2/3, 4, 7$. Все точки выколотые.

Определим знаки выражения на интервалах (справа налево, знаки чередуются):
- $(7, +\infty)$: +
- $(4, 7)$: -
- $(2/3, 4)$: +
- $(-1/2, 2/3)$: -
- $(-\infty, -1/2)$: +
4. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля.
Это интервалы $(-\infty, -1/2)$, $(2/3, 4)$ и $(7, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (2/3; 4) \cup (7; +\infty)$.