Номер 2.25, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.25 а) $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 35} > 0;$

Б) $\frac{x^2 - 4x + 12}{9 - x^2} < 0;$

В) $\frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 + 9x + 8} < 0;$

Г) $\frac{x^2 + 7x + 12}{25 - x^2} > 0.$

а) Чтобы решить неравенство $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 35} > 0$, применим метод интервалов.
1. Найдем нули числителя: $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Следовательно, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
2. Найдем нули знаменателя: $x^2 - 12x + 35 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а произведение равно 35. Следовательно, корни $x_3 = 5$ и $x_4 = 7$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 5$ и $x \neq 7$.
3. Перепишем неравенство в виде разложения на множители: $\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 5)(x - 7)} > 0$.
4. Отметим на числовой оси точки 2, 3, 5, 7. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми. Эти точки разбивают ось на пять интервалов: $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$, $(3; 5)$, $(5; 7)$, $(7; +\infty)$.
5. Определим знак выражения в каждом интервале.

• При $x > 7$ (например, $x=8$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} = +$.
• При $x \in (5; 7)$ (например, $x=6$): $\frac{(+)(+)}{(+)(-)} = -$.
• При $x \in (3; 5)$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(-)(-)} = +$.
• При $x \in (2; 3)$ (например, $x=2.5$): $\frac{(+)(-)}{(-)(-)} = -$.
• При $x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} = +$.

6. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; 5) \cup (7; +\infty)$.

б) Чтобы решить неравенство $\frac{x^2 - 4x + 12}{9 - x^2} < 0$.
1. Проанализируем числитель $x^2 - 4x + 12$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D<0$) и старший коэффициент положителен ($a=1>0$), то квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 12$ положителен при всех действительных значениях $x$.
2. Так как числитель всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака знаменателя. Следовательно, неравенство равносильно неравенству $9 - x^2 < 0$.
3. Решим неравенство $9 - x^2 < 0$.
$9 < x^2$
$x^2 - 9 > 0$
$(x - 3)(x + 3) > 0$
4. Корнями являются $x = -3$ и $x = 3$. Графиком функции $y = (x - 3)(x + 3)$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

в) Чтобы решить неравенство $\frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 + 9x + 8} < 0$.
1. Проанализируем числитель $x^2 - 2x + 3$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D<0$) и старший коэффициент положителен ($a=1>0$), то квадратный трехчлен $x^2 - 2x + 3$ положителен при всех действительных значениях $x$.
2. Так как числитель всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака знаменателя. Следовательно, неравенство равносильно неравенству $x^2 + 9x + 8 < 0$.
3. Решим неравенство $x^2 + 9x + 8 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 9x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -9, а произведение равно 8. Следовательно, корни $x_1 = -8$ и $x_2 = -1$.
4. Неравенство можно записать в виде $(x + 8)(x + 1) < 0$. Графиком функции $y = (x + 8)(x + 1)$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны в интервале между корнями.
Ответ: $x \in (-8; -1)$.

г) Чтобы решить неравенство $\frac{x^2 + 7x + 12}{25 - x^2} > 0$.
1. Найдем нули числителя: $x^2 + 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -7, а произведение равно 12. Следовательно, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = -3$.
2. Найдем нули знаменателя: $25 - x^2 = 0$. Отсюда $x^2 = 25$, то есть $x_3 = -5$ и $x_4 = 5$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -5$ и $x \neq 5$.
3. Перепишем неравенство в виде разложения на множители: $\frac{(x + 4)(x + 3)}{(5 - x)(5 + x)} > 0$.
4. Для удобства применения метода интервалов приведем все множители к виду $(x-a)$. Заметим, что $5 - x = -(x - 5)$.
$\frac{(x + 3)(x + 4)}{-(x - 5)(x + 5)} > 0$.
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{(x + 3)(x + 4)}{(x - 5)(x + 5)} < 0$.
5. Отметим на числовой оси точки -5, -4, -3, 5. Все точки выколотые. Они разбивают ось на пять интервалов: $(-\infty; -5)$, $(-5; -4)$, $(-4; -3)$, $(-3; 5)$, $(5; +\infty)$.
6. Определим знак выражения $\frac{(x + 3)(x + 4)}{(x - 5)(x + 5)}$ в каждом интервале.

• При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} = +$.
• При $x \in (-3; 5)$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} = -$.
• При $x \in (-4; -3)$ (например, $x=-3.5$): $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} = +$.
• При $x \in (-5; -4)$ (например, $x=-4.5$): $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} = -$.
• При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} = +$.

7. Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").
Ответ: $x \in (-5; -4) \cup (-3; 5)$.