Номер 2.21, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.21 a) $(x - 1)(x^2 - 3x + 8) < 0;$

б) $(x + 5)(x^2 + x + 6) \ge 0;$

в) $(x - 7)(-x^2 - 3x - 18) > 0;$

г) $(x + 1,2)(x^2 + 5x + 14) \le 0.$

a)

Для решения неравенства $(x - 1)(x^2 - 3x + 8) < 0$ рассмотрим второй множитель — квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 8$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Найдем дискриминант этого трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 - 32 = -23$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a > 0$, выражение $x^2 - 3x + 8$ всегда принимает положительные значения при любом $x$.

Так как множитель $x^2 - 3x + 8$ всегда положителен, знак всего произведения определяется знаком множителя $(x - 1)$. Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:

$x - 1 < 0$

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

б)

В неравенстве $(x + 5)(x^2 + x + 6) \geq 0$ рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + x + 6$. Ветви соответствующей параболы направлены вверх ($a=1 > 0$). Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.

Поскольку $D < 0$ и $a > 0$, выражение $x^2 + x + 6$ всегда положительно.

Разделим обе части неравенства на положительное выражение $x^2 + x + 6$, при этом знак неравенства не изменится:

$x + 5 \geq 0$

$x \geq -5$

Ответ: $x \in [-5; +\infty)$.

в)

Преобразуем неравенство $(x - 7)(-x^2 - 3x - 18) > 0$. Для этого вынесем $-1$ за скобку во втором множителе:

$(x - 7) \cdot (-(x^2 + 3x + 18)) > 0$

$-(x - 7)(x^2 + 3x + 18) > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$(x - 7)(x^2 + 3x + 18) < 0$

Теперь рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 18$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$). Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 9 - 72 = -63$.

Поскольку $D < 0$ и $a > 0$, выражение $x^2 + 3x + 18$ всегда положительно. Следовательно, исходное неравенство равносильно следующему:

$x - 7 < 0$

$x < 7$

Ответ: $x \in (-\infty; 7)$.

г)

Для решения неравенства $(x + 1,2)(x^2 + 5x + 14) \leq 0$ рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + 5x + 14$. Ветви соответствующей параболы направлены вверх ($a=1>0$). Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 25 - 56 = -31$.

Поскольку $D < 0$ и $a > 0$, выражение $x^2 + 5x + 14$ всегда положительно. Разделив обе части неравенства на это положительное выражение, получим равносильное неравенство, сохранив знак:

$x + 1,2 \leq 0$

$x \leq -1,2$

Ответ: $x \in (-\infty; -1,2]$.