Номер 2.28, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.28 a) $(x^2 + x + 2)(x - 4) < 0;$

б) $(2x^2 - 5x + 2)(x^2 - x + 1) \ge 0;$

в) $(x + 8)(x^2 + 2x + 5) > 0;$

г) $(3x^2 + 10x + 3)(x^2 + 3x + 4) \le 0.$

а) $(x^2 + x + 2)(x - 4) < 0$

Для решения данного неравенства проанализируем каждый множитель.
Первый множитель — это квадратный трехчлен $x^2 + x + 2$. Найдем его дискриминант, чтобы определить его знак:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=1$ положителен ($a > 0$), то квадратный трехчлен $x^2 + x + 2$ принимает только положительные значения при любом $x$.
Так как множитель $x^2 + x + 2$ всегда больше нуля, мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака неравенства. Таким образом, исходное неравенство равносильно более простому:
$x - 4 < 0$
$x < 4$

Ответ: $x \in (-\infty; 4)$.

б) $(2x^2 - 5x + 2)(x^2 - x + 1) \ge 0$

Рассмотрим множитель $x^2 - x + 1$. Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 - x + 1$ всегда положительно.
Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству:
$2x^2 - 5x + 2 \ge 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
Графиком функции $y=2x^2 - 5x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=2 > 0$). Неравенство $2x^2 - 5x + 2 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [2; +\infty)$.

в) $(x + 8)(x^2 + 2x + 5) > 0$

Рассмотрим множитель $x^2 + 2x + 5$. Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.
Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 + 2x + 5$ всегда положительно.
Поэтому исходное неравенство равносильно линейному неравенству:
$x + 8 > 0$
$x > -8$

Ответ: $x \in (-8; +\infty)$.

г) $(3x^2 + 10x + 3)(x^2 + 3x + 4) \le 0$

Рассмотрим множитель $x^2 + 3x + 4$. Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 + 3x + 4$ всегда положительно.
Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству:
$3x^2 + 10x + 3 \le 0$
Найдем корни уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$:
$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$
$x_1 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$
$x_2 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Графиком функции $y=3x^2 + 10x + 3$ является парабола с ветвями вверх ($a=3 > 0$). Неравенство $3x^2 + 10x + 3 \le 0$ выполняется, когда $x$ находится на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-3; -\frac{1}{3}]$.