Номер 2.33, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

2.33 a) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} > \frac{3}{x+2};$

б) $\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} > -3;$

В) $\frac{x+1}{x-2} > \frac{-3}{x-2} - \frac{1}{2};$

Г) $\frac{x-4}{x-3} > \frac{x-3}{x-4}.$

а) $ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} > \frac{3}{x+2} $

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} - \frac{3}{x+2} > 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x+3)(x+2)$:

$ \frac{(x+3)(x+2) + 2(x+1)(x+2) - 3(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0 $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(x^2+5x+6) + (2x^2+6x+4) - (3x^2+12x+9)}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0 $

$ \frac{x^2+5x+6 + 2x^2+6x+4 - 3x^2-12x-9}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0 $

$ \frac{(x^2+2x^2-3x^2) + (5x+6x-12x) + (6+4-9)}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0 $

$ \frac{1-x}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0 $

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $1-x=0 \implies x=1$.

Нули знаменателя: $x+1=0 \implies x=-1$; $x+3=0 \implies x=-3$; $x+2=0 \implies x=-2$.

Отметим точки $-3, -2, -1, 1$ на числовой прямой и определим знак выражения в каждом интервале. Так как неравенство строгое, все точки выколотые.

При $x > 1$: $ \frac{-}{(+)(+)(+)} < 0 $.
При $x \in (-1, 1)$: $ \frac{+}{(+)(+)(+)} > 0 $.
При $x \in (-2, -1)$: $ \frac{+}{(-)(+)(+)} < 0 $.
При $x \in (-3, -2)$: $ \frac{+}{(-)(+)(-)} > 0 $.
При $x < -3$: $ \frac{+}{(-)(-)(-)} < 0 $.

Выбираем интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-1, 1)$.

б) $ \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} > -3 $

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$ \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} + 3 > 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$:

$ \frac{2(x+1) - 1(x-1) + 3(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} > 0 $

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$ \frac{2x+2-x+1+3(x^2-1)}{(x-1)(x+1)} > 0 $

$ \frac{x+3+3x^2-3}{(x-1)(x+1)} > 0 $

$ \frac{3x^2+x}{(x-1)(x+1)} > 0 $

Вынесем $x$ за скобки в числителе:

$ \frac{x(3x+1)}{(x-1)(x+1)} > 0 $

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=0$, $x=-1/3$. Нули знаменателя: $x=1$, $x=-1$.

Отметим точки $-1, -1/3, 0, 1$ на числовой прямой и определим знаки:

При $x > 1$: $ \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0 $.
При $x \in (0, 1)$: $ \frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0 $.
При $x \in (-1/3, 0)$: $ \frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0 $.
При $x \in (-1, -1/3)$: $ \frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0 $.
При $x < -1$: $ \frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0 $.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{3}, 0) \cup (1, \infty)$.

в) $ \frac{x+1}{x-2} > \frac{-3}{x-2} - \frac{1}{2} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-2 \ne 0 \implies x \ne 2$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ \frac{x+1}{x-2} + \frac{3}{x-2} + \frac{1}{2} > 0 $

Сложим первые две дроби с одинаковым знаменателем:

$ \frac{x+1+3}{x-2} + \frac{1}{2} > 0 $

$ \frac{x+4}{x-2} + \frac{1}{2} > 0 $

Приведем к общему знаменателю $2(x-2)$:

$ \frac{2(x+4) + 1(x-2)}{2(x-2)} > 0 $

$ \frac{2x+8+x-2}{2(x-2)} > 0 $

$ \frac{3x+6}{2(x-2)} > 0 $

$ \frac{3(x+2)}{2(x-2)} > 0 $

Решим методом интервалов. Нуль числителя: $x+2=0 \implies x=-2$. Нуль знаменателя: $x-2=0 \implies x=2$.

Отметим точки $-2, 2$ на числовой прямой и определим знаки:

При $x > 2$: $ \frac{+}{+} > 0 $.
При $x \in (-2, 2)$: $ \frac{+}{-} < 0 $.
При $x < -2$: $ \frac{-}{-} > 0 $.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

г) $ \frac{x-4}{x-3} > \frac{x-3}{x-4} $

ОДЗ: $x \ne 3, x \ne 4$.

Перенесем правую часть налево:

$ \frac{x-4}{x-3} - \frac{x-3}{x-4} > 0 $

Приведем к общему знаменателю $(x-3)(x-4)$:

$ \frac{(x-4)^2 - (x-3)^2}{(x-3)(x-4)} > 0 $

В числителе используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$ \frac{((x-4)-(x-3))((x-4)+(x-3))}{(x-3)(x-4)} > 0 $

$ \frac{(x-4-x+3)(x-4+x-3)}{(x-3)(x-4)} > 0 $

$ \frac{(-1)(2x-7)}{(x-3)(x-4)} > 0 $

$ \frac{7-2x}{(x-3)(x-4)} > 0 $

Решим методом интервалов. Нуль числителя: $7-2x=0 \implies x=3.5$. Нули знаменателя: $x=3, x=4$.

Отметим точки $3, 3.5, 4$ на числовой прямой и определим знаки:

При $x > 4$: $ \frac{-}{(+)(+)} < 0 $.
При $x \in (3.5, 4)$: $ \frac{-}{(+)(-)} > 0 $.
При $x \in (3, 3.5)$: $ \frac{+}{(+)(-)} < 0 $.
При $x < 3$: $ \frac{+}{(-)(-)} > 0 $.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (3.5, 4)$.