Номер 2.36, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.36 Дано выражение $f(x) = \frac{(x+2)^2(x-1)(2x+3)}{x(2x+1)}$. Найдите значения переменной, при которых:

а) $f(x) > 0$;

б) $f(x) < 0$;

в) $f(x) \geq 0$;

г) $f(x) \leq 0$.

Для решения всех неравенств используем метод интервалов. Данное выражение: $f(x) = \frac{(x+2)^2(x-1)(2x+3)}{x(2x+1)}$.

1. Найдём область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $x(2x+1) \neq 0$. Это означает, что $x \neq 0$ и $2x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1/2$. Точки $x=0$ и $x=-1/2$ являются точками разрыва и будут "выколоты" на числовой оси.

2. Найдём нули функции. Функция равна нулю, когда её числитель равен нулю: $(x+2)^2(x-1)(2x+3) = 0$. Отсюда получаем нули функции:

• $(x+2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Это корень кратности 2, поэтому при переходе через эту точку знак функции не меняется.
• $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Это корень кратности 1, знак функции меняется.
• $2x+3 = 0 \Rightarrow x = -3/2$. Это корень кратности 1, знак функции меняется.

3. Нанесём точки на числовую ось. Расположим нули функции и точки разрыва на числовой оси в порядке возрастания: $-2$, $-3/2$ (это -1.5), $-1/2$ (это -0.5), $0$, $1$.

4. Определим знаки функции на интервалах. Возьмём пробную точку из крайнего правого интервала $(1, +\infty)$, например $x=10$.
$f(10) = \frac{(10+2)^2(10-1)(2 \cdot 10+3)}{10(2 \cdot 10+1)} = \frac{(+)(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
Двигаясь справа налево, расставим знаки, учитывая кратность корней:

• Интервал $(1, +\infty)$: +
• Переход через $x=1$ (кратность 1): знак меняется. Интервал $(0, 1)$: -
• Переход через $x=0$ (кратность 1): знак меняется. Интервал $(-1/2, 0)$: +
• Переход через $x=-1/2$ (кратность 1): знак меняется. Интервал $(-3/2, -1/2)$: -
• Переход через $x=-3/2$ (кратность 1): знак меняется. Интервал $(-2, -3/2)$: +
• Переход через $x=-2$ (кратность 2): знак не меняется. Интервал $(-\infty, -2)$: +

Схема знаков: $(-\infty, -2): +$; $(-2, -3/2): +$; $(-3/2, -1/2): -$; $(-1/2, 0): +$; $(0, 1): -$; $(1, +\infty): +$.

а) $f(x) > 0$

Нас интересуют интервалы, где функция строго положительна. Согласно схеме знаков, это интервалы $(-\infty, -2)$, $(-2, -3/2)$, $(-1/2, 0)$ и $(1, +\infty)$. Так как неравенство строгое, точки, где функция равна нулю ($x=-2, x=-3/2, x=1$) или не определена ($x=-1/2, x=0$), в решение не входят.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -3/2) \cup (-1/2, 0) \cup (1, +\infty)$.

б) $f(x) < 0$

Нас интересуют интервалы, где функция строго отрицательна. Согласно схеме знаков, это интервалы $(-3/2, -1/2)$ и $(0, 1)$. Так как неравенство строгое, концы интервалов в решение не входят.

Ответ: $x \in (-3/2, -1/2) \cup (0, 1)$.

в) $f(x) \geq 0$

Нас интересуют интервалы, где функция положительна, а также точки, где она равна нулю. Интервалы, где $f(x) > 0$: $(-\infty, -2) \cup (-2, -3/2) \cup (-1/2, 0) \cup (1, +\infty)$. Точки, где $f(x)=0$: $x=-2, x=-3/2, x=1$. Объединяем эти множества. Интервалы $(-\infty, -2)$ и $(-2, -3/2)$ вместе с точками $x=-2$ и $x=-3/2$ образуют промежуток $(-\infty, -3/2]$. Интервал $(1, +\infty)$ с точкой $x=1$ дает $[1, +\infty)$. Интервал $(-1/2, 0)$ остается без изменений, так как на его концах функция не определена.

Ответ: $x \in (-\infty, -3/2] \cup (-1/2, 0) \cup [1, +\infty)$.

г) $f(x) \leq 0$

Нас интересуют интервалы, где функция отрицательна, и точки, где она равна нулю. Интервалы, где $f(x) < 0$: $(-3/2, -1/2)$ и $(0, 1)$. Точки, где $f(x)=0$: $x=-2, x=-3/2, x=1$. Объединяем эти множества. Интервал $(-3/2, -1/2)$ вместе с точкой $x=-3/2$ образует $[-3/2, -1/2)$. Интервал $(0, 1)$ с точкой $x=1$ образует $(0, 1]$. Точка $x=-2$ также является решением, так как в ней $f(x)=0$. Она является изолированной точкой в решении, так как в ее окрестности функция положительна.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup [-3/2, -1/2) \cup (0, 1]$.