Номер 2.31, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.31 При каких значениях x имеет смысл выражение:

а) $\sqrt{\frac{2x+4}{x^2+8x-48}}$;

б) $\sqrt{\frac{14-x^2+5x}{x+2}}$;

В) $\sqrt{\frac{x^2+7x+10}{6-x}}$;

Г) $\sqrt{\frac{x-3}{x^2+5x-24}}$?

Для того чтобы выражение, содержащее квадратный корень, имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Для дроби это означает, что числитель и знаменатель должны удовлетворять условию $\frac{A}{B} \ge 0$, при этом знаменатель не может быть равен нулю ($B \neq 0$). Мы решим это неравенство для каждого случая методом интервалов.

а) Выражение $\sqrt{\frac{2x + 4}{x^2 + 8x - 48}}$ имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно:

$\frac{2x + 4}{x^2 + 8x - 48} \ge 0$

Найдем корни числителя и знаменателя.

Корень числителя: $2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.

Корни знаменателя: $x^2 + 8x - 48 = 0$.

Дискриминант $D = 8^2 - 4(1)(-48) = 64 + 192 = 256 = 16^2$.

$x_1 = \frac{-8 - 16}{2} = -12$

$x_2 = \frac{-8 + 16}{2} = 4$

Таким образом, знаменатель не равен нулю при $x \neq -12$ и $x \neq 4$.

Перепишем неравенство в виде:

$\frac{2(x + 2)}{(x + 12)(x - 4)} \ge 0$

Отметим на числовой оси точки $x = -12$, $x = -2$ и $x = 4$. Точки знаменателя ($ -12, 4$) будут выколотыми, а точка числителя ($-2$) — закрашенной.

Определим знаки выражения на интервалах:

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{2(5+2)}{(5+12)(5-4)} = \frac{+}{+\cdot+} > 0$.
• При $-2 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{2(0+2)}{(0+12)(0-4)} = \frac{+}{+\cdot-} < 0$.
• При $-12 < x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{2(-3+2)}{(-3+12)(-3-4)} = \frac{-}{+\cdot-} > 0$.
• При $x < -12$ (например, $x=-13$): $\frac{2(-13+2)}{(-13+12)(-13-4)} = \frac{-}{-\cdot-} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $(-12, -2]$ и $(4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-12, -2] \cup (4, +\infty)$.

б) Выражение $\sqrt{\frac{14 - x^2 + 5x}{x + 2}}$ имеет смысл, если:

$\frac{14 - x^2 + 5x}{x + 2} \ge 0$

Разложим числитель на множители. Сначала найдем его корни: $-x^2 + 5x + 14 = 0$.

Умножим на -1: $x^2 - 5x - 14 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 7$ и $x_2 = -2$.

Тогда $-x^2 + 5x + 14 = -(x - 7)(x + 2)$.

Корень знаменателя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Знаменатель не может быть равен нулю, значит $x \neq -2$.

Подставим разложение в неравенство:

$\frac{-(x - 7)(x + 2)}{x + 2} \ge 0$

Поскольку $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x+2)$:

$-(x - 7) \ge 0$

$x - 7 \le 0$

$x \le 7$

Совмещая с условием $x \neq -2$, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 7]$.

в) Выражение $\sqrt{\frac{x^2 + 7x + 10}{6 - x}}$ имеет смысл, если:

$\frac{x^2 + 7x + 10}{6 - x} \ge 0$

Найдем корни числителя: $x^2 + 7x + 10 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -2$.

Тогда $x^2 + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2)$.

Корень знаменателя: $6 - x = 0 \implies x = 6$. Знаменатель не равен нулю, значит $x \neq 6$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x + 5)(x + 2)}{6 - x} \ge 0$

Отметим на числовой оси точки $-5, -2, 6$. Точки $-5$ и $-2$ — закрашенные, точка $6$ — выколотая.

Определим знаки выражения на интервалах:

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{(7+5)(7+2)}{6-7} = \frac{+\cdot+}{-} < 0$.
• При $-2 < x < 6$ (например, $x=0$): $\frac{(0+5)(0+2)}{6-0} = \frac{+\cdot+}{+} > 0$.
• При $-5 < x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(-3+5)(-3+2)}{6-(-3)} = \frac{+\cdot-}{+} < 0$.
• При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{(-6+5)(-6+2)}{6-(-6)} = \frac{-\cdot-}{+} > 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty, -5]$ и $[-2, 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [-2, 6)$.

г) Выражение $\sqrt{\frac{x - 3}{x^2 + 5x - 24}}$ имеет смысл, если:

$\frac{x - 3}{x^2 + 5x - 24} \ge 0$

Корень числителя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.

Найдем корни знаменателя: $x^2 + 5x - 24 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = -8$ и $x_2 = 3$.

Знаменатель не равен нулю, значит $x \neq -8$ и $x \neq 3$.

Перепишем неравенство в виде:

$\frac{x - 3}{(x + 8)(x - 3)} \ge 0$

Поскольку $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x-3)$:

$\frac{1}{x + 8} \ge 0$

Так как числитель $1$ положителен, то и знаменатель должен быть строго положителен (не равен нулю):

$x + 8 > 0$

$x > -8$

Учитывая, что $x \neq 3$, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-8, 3) \cup (3, +\infty)$.