Номер 2.24, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Рациональные неравенства. Глава 1. Рациональные неравенства и их системы. ч. 2 - номер 2.24, страница 10.

2.24 а) $(x^2 + 4x + 4)(6x - x^2 + 7) < 0;$

б) $(x + 3)^3(3x - 2 - x^2) \ge 0;$

в) $(x^2 - 6x + 9)(6 - 5x - x^2) > 0;$

г) $(x - 4)^3(7x - x^2 - 10) \le 0.$

а) Решим неравенство $(x^2 + 4x + 4)(6x - x^2 + 7) < 0$.
Первый множитель $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом: $(x+2)^2$.
Неравенство принимает вид: $(x+2)^2(-x^2 + 6x + 7) < 0$.
Выражение $(x+2)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x+2)^2 \ge 0$. Так как неравенство строгое, случай $(x+2)^2 = 0$ не является решением. Следовательно, $x \ne -2$.
При $x \ne -2$ множитель $(x+2)^2$ строго положителен, и мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив знак:
$-x^2 + 6x + 7 < 0$.
Умножим неравенство на $-1$, изменив знак на противоположный:
$x^2 - 6x - 7 > 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а их произведение равно $-7$. Корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$.
Парабола $y = x^2 - 6x - 7$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Решение неравенства $x^2 - 6x - 7 > 0$ есть $x \in (-\infty, -1) \cup (7, \infty)$.
Теперь необходимо учесть условие $x \ne -2$. Точка $-2$ принадлежит интервалу $(-\infty, -1)$, поэтому ее нужно исключить.
Окончательное решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (7, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (7, \infty)$.

б) Решим неравенство $(x + 3)^3(3x - 2 - x^2) \ge 0$.
Знак множителя $(x+3)^3$ совпадает со знаком выражения $(x+3)$. Поэтому неравенство эквивалентно следующему:
$(x + 3)(-x^2 + 3x - 2) \ge 0$.
Вынесем $-1$ из второго множителя:
$-(x + 3)(x^2 - 3x + 2) \ge 0$.
Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$(x + 3)(x^2 - 3x + 2) \le 0$.
Разложим квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 2$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Таким образом, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.
Неравенство принимает вид:
$(x+3)(x-1)(x-2) \le 0$.
Решим его методом интервалов. Корни (нули функции): $-3, 1, 2$. Отметим их на числовой оси.
Определим знаки выражения на полученных интервалах:
- при $x > 2$ выражение положительно (+).
- при $1 < x < 2$ выражение отрицательно (-).
- при $-3 < x < 1$ выражение положительно (+).
- при $x < -3$ выражение отрицательно (-).
Нам нужны промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Учитывая, что неравенство нестрогое, корни включаются в решение.
Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [1, 2]$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [1, 2]$.

в) Решим неравенство $(x^2 - 6x + 9)(6 - 5x - x^2) > 0$.
Первый множитель $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом: $(x-3)^2$.
Неравенство принимает вид: $(x-3)^2(-x^2 - 5x + 6) > 0$.
Множитель $(x-3)^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое, $(x-3)^2$ должен быть строго больше нуля, что означает $x \ne 3$.
При $x \ne 3$ можно разделить обе части неравенства на $(x-3)^2$, сохранив знак:
$-x^2 - 5x + 6 > 0$.
Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$x^2 + 5x - 6 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$.
Парабола $y = x^2 + 5x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.
Решением является интервал $x \in (-6, 1)$.
Условие $x \ne 3$ не влияет на решение, так как $3$ не входит в интервал $(-6, 1)$.
Ответ: $x \in (-6, 1)$.

г) Решим неравенство $(x - 4)^3(7x - x^2 - 10) \le 0$.
Знак выражения $(x-4)^3$ совпадает со знаком $(x-4)$. Неравенство можно переписать так:
$(x - 4)(-x^2 + 7x - 10) \le 0$.
Вынесем $-1$ из второго множителя:
$-(x - 4)(x^2 - 7x + 10) \le 0$.
Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства:
$(x - 4)(x^2 - 7x + 10) \ge 0$.
Разложим на множители $x^2 - 7x + 10$. Корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.
Получаем неравенство:
$(x - 4)(x - 2)(x - 5) \ge 0$.
Для удобства расположим множители в порядке возрастания корней: $(x - 2)(x - 4)(x - 5) \ge 0$.
Решим методом интервалов. Корни: $2, 4, 5$.
Определим знаки выражения на интервалах:
- при $x > 5$ выражение положительно (+).
- при $4 < x < 5$ выражение отрицательно (-).
- при $2 < x < 4$ выражение положительно (+).
- при $x < 2$ выражение отрицательно (-).
Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю. Так как неравенство нестрогое, корни включаются в решение.
Решение: $x \in [2, 4] \cup [5, \infty)$.
Ответ: $x \in [2, 4] \cup [5, \infty)$.