Номер 2.18, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.18 a) $x^3 - 64x > 0;$

Б) $x^3 \le 2x;$

В) $x^3 \ge x;$

Г) $x^3 - 10x < 0.$

а) Решим неравенство $x^3 - 64x > 0$.
Для решения используем метод интервалов. Сначала разложим левую часть неравенства на множители.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 64) > 0$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:
$x(x - 8)(x + 8) > 0$.
Теперь найдем корни уравнения $x(x - 8)(x + 8) = 0$. Корнями являются $x_1 = -8$, $x_2 = 0$, $x_3 = 8$.
Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ось на четыре интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 0)$, $(0; 8)$ и $(8; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале, подставив любое значение из этого интервала:
- для интервала $(8; +\infty)$, возьмем $x=10$: $10(10-8)(10+8) = 10 \cdot 2 \cdot 18 > 0$. Знак "+".
- для интервала $(0; 8)$, возьмем $x=1$: $1(1-8)(1+8) = 1 \cdot (-7) \cdot 9 < 0$. Знак "-".
- для интервала $(-8; 0)$, возьмем $x=-1$: $-1(-1-8)(-1+8) = (-1) \cdot (-9) \cdot 7 > 0$. Знак "+".
- для интервала $(-\infty; -8)$, возьмем $x=-10$: $-10(-10-8)(-10+8) = (-10) \cdot (-18) \cdot (-2) < 0$. Знак "-".
Поскольку неравенство строгое ($>$), нас интересуют интервалы, где выражение положительно. Это интервалы $(-8; 0)$ и $(8; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-8; 0) \cup (8; +\infty)$.

б) Решим неравенство $x^3 \le 2x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$x^3 - 2x \le 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 2) \le 0$.
Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:
$x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \le 0$.
Найдем корни уравнения $x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0$. Корнями являются $x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \sqrt{2}$.
Так как неравенство нестрогое ($\le$), корни входят в решение. Отметим их на числовой оси закрашенными точками.
Определим знаки на интервалах $(-\infty; -\sqrt{2}]$, $[-\sqrt{2}; 0]$, $[0; \sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; +\infty)$.
- при $x > \sqrt{2}$ (например, $x=2$): $2(2^2-2) > 0$. Знак "+".
- при $0 < x < \sqrt{2}$ (например, $x=1$): $1(1^2-2) < 0$. Знак "-".
- при $-\sqrt{2} < x < 0$ (например, $x=-1$): $-1((-1)^2-2) > 0$. Знак "+".
- при $x < -\sqrt{2}$ (например, $x=-2$): $-2((-2)^2-2) < 0$. Знак "-".
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty; -\sqrt{2}]$ и $[0; \sqrt{2}]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [0; \sqrt{2}]$.

в) Решим неравенство $x^3 \ge x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$x^3 - x \ge 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 1) \ge 0$.
Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:
$x(x - 1)(x + 1) \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x(x - 1)(x + 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому корни включаются в решение. Отметим их на числовой оси закрашенными точками.
Определим знаки на интервалах $(-\infty; -1]$, $[-1; 0]$, $[0; 1]$ и $[1; +\infty)$.
- при $x > 1$ (например, $x=2$): $2(2-1)(2+1) > 0$. Знак "+".
- при $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $0.5(0.5-1)(0.5+1) < 0$. Знак "-".
- при $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $-0.5(-0.5-1)(-0.5+1) > 0$. Знак "+".
- при $x < -1$ (например, $x=-2$): $-2(-2-1)(-2+1) < 0$. Знак "-".
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-1; 0] \cup [1; +\infty)$.

г) Решим неравенство $x^3 - 10x < 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 10) < 0$.
Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:
$x(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) < 0$.
Найдем корни уравнения $x(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) = 0$. Корнями являются $x_1 = -\sqrt{10}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \sqrt{10}$.
Неравенство строгое (<), поэтому корни не включаются в решение. Отметим их на числовой оси выколотыми точками.
Определим знаки на интервалах $(-\infty; -\sqrt{10})$, $(-\sqrt{10}; 0)$, $(0; \sqrt{10})$ и $(\sqrt{10}; +\infty)$.
- при $x > \sqrt{10}$ (например, $x=4$): $4(4^2-10) > 0$. Знак "+".
- при $0 < x < \sqrt{10}$ (например, $x=1$): $1(1^2-10) < 0$. Знак "-".
- при $-\sqrt{10} < x < 0$ (например, $x=-1$): $-1((-1)^2-10) > 0$. Знак "+".
- при $x < -\sqrt{10}$ (например, $x=-4$): $-4((-4)^2-10) < 0$. Знак "-".
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty; -\sqrt{10})$ и $(0; \sqrt{10})$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{10}) \cup (0; \sqrt{10})$.