Номер 2.13, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.13 a) $4x^2 + x + 1 > 0;$

б) $7x^2 + 3 \le 2x;$

В) $3x^2 + 4 < x;$

Г) $5x^2 + 6x + 13 \ge 0.$

а) $4x^2 + x + 1 > 0$
Для решения неравенства рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 4x^2 + x + 1$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 4 > 0$.
Найдем нули функции, для этого решим уравнение $4x^2 + x + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, действительных корней у уравнения нет. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс (Ox).
Так как ветви параболы направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью Ox, вся парабола находится выше оси Ox. Следовательно, выражение $4x^2 + x + 1$ всегда принимает положительные значения.
Таким образом, неравенство $4x^2 + x + 1 > 0$ выполняется при любых действительных значениях $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $7x^2 + 3 \le 2x$
Сначала приведем неравенство к стандартному виду, перенеся все члены в одну сторону: $7x^2 - 2x + 3 \le 0$.
Рассмотрим функцию $y = 7x^2 - 2x + 3$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a = 7 > 0$.
Найдем нули функции, решив уравнение $7x^2 - 2x + 3 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 4 - 84 = -80$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось Ox.
Поскольку ветви параболы направлены вверх и она полностью лежит выше оси Ox, значения функции $y = 7x^2 - 2x + 3$ всегда положительны.
Неравенство $7x^2 - 2x + 3 \le 0$ требует, чтобы выражение было меньше или равно нулю. Так как оно всегда положительно, у неравенства нет решений.
Ответ: решений нет.

в) $3x^2 + 4 < x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид: $3x^2 - x + 4 < 0$.
Рассмотрим функцию $y = 3x^2 - x + 4$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a = 3 > 0$.
Найдем нули функции, решив уравнение $3x^2 - x + 4 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 - 48 = -47$.
Поскольку $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.
Так как ветви параболы направлены вверх и она находится целиком выше оси Ox, значения функции $y = 3x^2 - x + 4$ всегда положительны.
Неравенство $3x^2 - x + 4 < 0$ требует, чтобы выражение было отрицательным. Так как оно всегда положительно, у неравенства нет решений.
Ответ: решений нет.

г) $5x^2 + 6x + 13 \ge 0$
Рассмотрим квадратичную функцию $y = 5x^2 + 6x + 13$. Графиком является парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a = 5 > 0$.
Найдем нули функции, решив уравнение $5x^2 + 6x + 13 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 13 = 36 - 260 = -224$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет, следовательно, парабола не пересекает ось Ox.
Поскольку ветви параболы направлены вверх и она вся расположена выше оси Ox, выражение $5x^2 + 6x + 13$ всегда положительно.
Неравенство $5x^2 + 6x + 13 \ge 0$ требует, чтобы выражение было больше или равно нулю. Так как оно всегда положительно, неравенство выполняется для любых действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.