Номер 2.6, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.6 a) $(x + 2)(x + 4)(x - 1) > 0$;

б) $(x - 3)(5x - 6)(x + 6) < 0$;

в) $(x - 2)(x + 3)(x + 1) < 0$;

г) $(x + 5)(4x + 1)(x - 3) > 0$.

а) $(x + 2)(x + 4)(x - 1) > 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.
1. Найдём нули функции $f(x) = (x + 2)(x + 4)(x - 1)$, приравняв каждый множитель к нулю:
$x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = -2$
$x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$
$x - 1 = 0 \Rightarrow x_3 = 1$

2. Расположим найденные корни на числовой оси в порядке возрастания: -4, -2, 1. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; -2)$, $(-2; 1)$ и $(1; +\infty)$. Так как неравенство строгое (знак $> $), все точки будут выколотыми.

3. Определим знак выражения в каждом из интервалов. Можно взять любую точку из крайнего правого интервала $(1; +\infty)$, например $x = 2$, и подставить в выражение:
$(2 + 2)(2 + 4)(2 - 1) = 4 \cdot 6 \cdot 1 = 24$.
Результат положительный, значит, в этом интервале ставим знак "+".

4. Поскольку все корни имеют нечетную кратность (равную 1), при переходе через каждый корень знак будет меняться. Таким образом, знаки в интервалах, двигаясь справа налево, будут чередоваться: +, -, +, -.

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение больше нуля ($ > 0$). Это соответствует интервалам со знаком "+".
Следовательно, решением являются интервалы $(-4; -2)$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4; -2) \cup (1; +\infty)$.

б) $(x - 3)(5x - 6)(x + 6) < 0$

Решаем неравенство методом интервалов.
1. Найдём нули выражения, приравняв каждый множитель к нулю:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$
$5x - 6 = 0 \Rightarrow 5x = 6 \Rightarrow x_2 = \frac{6}{5} = 1.2$
$x + 6 = 0 \Rightarrow x_3 = -6$

2. Отметим точки на числовой оси в порядке возрастания: -6, $\frac{6}{5}$, 3. Они делят ось на интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; \frac{6}{5})$, $(\frac{6}{5}; 3)$ и $(3; +\infty)$. Неравенство строгое ($ < $), поэтому точки выколотые.

3. Определим знак в крайнем правом интервале $(3; +\infty)$, взяв $x=4$:
$(4 - 3)(5 \cdot 4 - 6)(4 + 6) = 1 \cdot 14 \cdot 10 = 140 > 0$.
Знак в этом интервале — "+".

4. Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки чередуются. Справа налево: +, -, +, -.

5. Мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше нуля ($ < 0$). Это соответствует интервалам со знаком "-".
Решением являются интервалы $(-\infty; -6)$ и $(\frac{6}{5}; 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (\frac{6}{5}; 3)$.

в) $(x - 2)(x + 3)(x + 1) < 0$

Решаем методом интервалов.
1. Найдём нули выражения:
$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$
$x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3$
$x + 1 = 0 \Rightarrow x_3 = -1$

2. Расположим точки на числовой оси: -3, -1, 2. Они образуют интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$. Точки выколотые, так как неравенство строгое.

3. Определим знак в крайнем правом интервале $(2; +\infty)$, взяв $x=3$:
$(3 - 2)(3 + 3)(3 + 1) = 1 \cdot 6 \cdot 4 = 24 > 0$.
Знак — "+".

4. Знаки в интервалах чередуются: +, -, +, -.

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля ($ < 0$), то есть со знаком "-".
Это интервалы $(-\infty; -3)$ и $(-1; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 2)$.

г) $(x + 5)(4x + 1)(x - 3) > 0$

Решаем методом интервалов.
1. Найдём нули выражения:
$x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -5$
$4x + 1 = 0 \Rightarrow 4x = -1 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{4}$
$x - 3 = 0 \Rightarrow x_3 = 3$

2. Отметим точки на числовой оси: -5, $-\frac{1}{4}$, 3. Они образуют интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; -\frac{1}{4})$, $(-\frac{1}{4}; 3)$ и $(3; +\infty)$. Точки выколотые.

3. Определим знак в крайнем правом интервале $(3; +\infty)$, взяв $x=4$:
$(4 + 5)(4 \cdot 4 + 1)(4 - 3) = 9 \cdot 17 \cdot 1 = 153 > 0$.
Знак — "+".

4. Знаки чередуются: +, -, +, -.

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля ($ > 0$), то есть со знаком "+".
Это интервалы $(-5; -\frac{1}{4})$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5; -\frac{1}{4}) \cup (3; +\infty)$.