Номер 2.2, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.2 a) $t(t-1) < 0;$

б) $t \left(t - \frac{1}{4}\right) (t - 12) \ge 0;$

В) $t(t+3) > 0;$

Г) $t(t+8)(t - 1,2) \le 0.$

а) Чтобы решить неравенство $t(t-1) < 0$, применим метод интервалов. Сначала найдем корни уравнения $t(t-1) = 0$. Корнями являются $t_1 = 0$ и $t_2 = 1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Так как неравенство строгое, сами точки $0$ и $1$ в решение не включаются. Определим знак выражения $t(t-1)$ на каждом из интервалов. Для интервала $(0, 1)$ можно взять пробную точку $t=0.5$. Тогда $0.5(0.5 - 1) = 0.5 \cdot (-0.5) = -0.25$, что меньше нуля. На двух других интервалах выражение будет положительным, так как знаки чередуются. Таким образом, неравенство выполняется на интервале $(0, 1)$.
Ответ: $t \in (0, 1)$.

б) Решим неравенство $t\left(t - \frac{1}{4}\right)(t - 12) \ge 0$ методом интервалов. Найдем корни уравнения $t\left(t - \frac{1}{4}\right)(t - 12) = 0$. Корнями являются $t_1 = 0$, $t_2 = \frac{1}{4}$ и $t_3 = 12$. Расположим эти точки на числовой оси, они разделят ее на четыре интервала. Так как неравенство нестрогое, все корни включаются в решение. Определим знаки выражения на интервалах. Возьмем точку из крайнего правого интервала $(12, +\infty)$, например, $t=13$. Выражение будет положительным: $13\left(13 - \frac{1}{4}\right)(13 - 12) > 0$. Двигаясь справа налево, знаки будут чередоваться: +, −, +, −. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $[0, \frac{1}{4}]$ и $[12, +\infty)$.
Ответ: $t \in \left[0, \frac{1}{4}\right] \cup [12, +\infty)$.

в) Для решения неравенства $t(t+3) > 0$ используем метод интервалов. Корни уравнения $t(t+3) = 0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = -3$. Отметим эти точки на числовой прямой. Они делят прямую на интервалы $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$ и $(0, +\infty)$. Неравенство строгое, поэтому корни не являются частью решения. Выражение $t(t+3)$ представляет собой квадратичную функцию с ветвями параболы, направленными вверх, поэтому оно положительно вне интервала между корнями и отрицательно внутри. Таким образом, выражение больше нуля на интервалах $(-\infty, -3)$ и $(0, +\infty)$.
Ответ: $t \in (-\infty, -3) \cup (0, +\infty)$.

г) Решим неравенство $t(t+8)(t-1.2) \le 0$ методом интервалов. Найдем корни уравнения $t(t+8)(t-1.2) = 0$. Корнями являются $t_1 = -8$, $t_2 = 0$ и $t_3 = 1.2$. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала. Неравенство нестрогое, поэтому корни включаются в решение. Проверим знак выражения на крайнем правом интервале $(1.2, +\infty)$, взяв, например, $t=2$. Получим $2(2+8)(2-1.2) > 0$. Знаки на интервалах, двигаясь справа налево, будут чередоваться: +, −, +, −. Нас интересуют значения, где выражение меньше или равно нулю. Это интервалы $(-\infty, -8]$ и $[0, 1.2]$.
Ответ: $t \in (-\infty, -8] \cup [0, 1.2]$.