Номер 1.23, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.23 Найдите, при каких значениях параметра $p$ уравнение $(p+4)x^2 + 2px + 2 = 0$ имеет:

а) один корень;

б) два корня;

в) хотя бы один корень.

Данное уравнение $(p + 4)x^2 + 2px + 2 = 0$ является уравнением, зависящим от параметра $p$. Его вид (линейное или квадратное) и количество корней зависят от значения $p$.

Сначала рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ обращается в ноль. Это превращает уравнение в линейное.

$p + 4 = 0 \Rightarrow p = -4$.

При $p = -4$ уравнение принимает вид:

$0 \cdot x^2 + 2(-4)x + 2 = 0$

$-8x + 2 = 0$

$-8x = -2$

$x = \frac{1}{4}$

Таким образом, при $p = -4$ уравнение имеет ровно один корень.

Теперь рассмотрим случай, когда уравнение является квадратным, то есть $p + 4 \neq 0$, или $p \neq -4$. В этом случае количество корней зависит от знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a = p+4$, $b=2p$, $c=2$.

Вычислим дискриминант:

$D = (2p)^2 - 4 \cdot (p + 4) \cdot 2 = 4p^2 - 8(p + 4) = 4p^2 - 8p - 32$.

Для определения знака $D$ проанализируем выражение $4p^2 - 8p - 32$. Найдем его корни, решив уравнение $4p^2 - 8p - 32 = 0$. Разделим обе части на 4:

$p^2 - 2p - 8 = 0$.

Используя теорему Виета или формулу корней квадратного уравнения, находим корни:

$p_1 = 4$, $p_2 = -2$.

Графиком функции $y(p) = p^2 - 2p - 8$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно:

• При $D > 0$, то есть при $p \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• При $D = 0$, то есть при $p = -2$ или $p = 4$, уравнение имеет один действительный корень (кратности 2).
• При $D < 0$, то есть при $p \in (-2, 4)$, уравнение не имеет действительных корней.

Теперь объединим полученные результаты для ответа на каждый из вопросов.

а) один корень

Уравнение имеет ровно один корень в двух ситуациях:

1. Когда уравнение является линейным, что происходит при $p = -4$.

2. Когда уравнение является квадратным ($p \neq -4$) и его дискриминант равен нулю ($D = 0$). Это происходит при $p = -2$ и $p = 4$.

Объединяя эти значения, получаем искомое множество.

Ответ: $p \in \{-4, -2, 4\}$.

б) два корня

Уравнение имеет два различных корня, когда оно является квадратным ($p \neq -4$) и его дискриминант строго положителен ($D > 0$).

Условие $D > 0$ выполняется для $p \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.

Из этого множества необходимо исключить значение $p = -4$, при котором уравнение не является квадратным. Так как $-4$ принадлежит интервалу $(-\infty, -2)$, мы должны его "выколоть".

Таким образом, итоговое множество значений для $p$ следующее.

Ответ: $p \in (-\infty, -4) \cup (-4, -2) \cup (4, \infty)$.

в) хотя бы один корень

Уравнение имеет хотя бы один корень, если оно имеет один или два корня. Это соответствует случаям $D \geq 0$ для квадратного уравнения, а также случаю, когда уравнение является линейным.

Это условие выполняется, если $p$ принадлежит объединению множеств, найденных в пунктах а) и б):

$\{-4, -2, 4\} \cup ((-\infty, -4) \cup (-4, -2) \cup (4, \infty)) = (-\infty, -2] \cup [4, \infty)$.

Альтернативный подход — найти значения $p$, при которых корней нет, и исключить их из множества всех действительных чисел. Уравнение не имеет корней, когда оно квадратное ($p \neq -4$) и $D < 0$. Это соответствует $p \in (-2, 4)$. Таким образом, при всех остальных значениях $p$ уравнение будет иметь хотя бы один корень.

Ответ: $p \in (-\infty, -2] \cup [4, \infty)$.