Номер 1.16, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.16 Являются ли равносильными заданные неравенства:

а) $x - 2 > 0$ и $x^2 - 4 > 0$;

б) $2x + 1 \le -5$ и $x^2 + 8x + 15 \le 0$;

в) $x \le 3$ и $x^2 - 3x \le 0$;

г) $3x - 2 > 10$ и $x^2 - 14x + 40 < 0$.

Два неравенства называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Чтобы проверить равносильность заданных пар неравенств, необходимо решить каждое из них и сравнить полученные множества решений.

а) $x - 2 > 0$ и $x^2 - 4 > 0$

1. Решим первое неравенство: $x - 2 > 0$. Перенеся $-2$ в правую часть, получаем $x > 2$. Множество решений этого неравенства — интервал $(2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 4 > 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 2)(x + 2) > 0$. Корнями соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны при $x < -2$ и при $x > 2$. Таким образом, множество решений этого неравенства — объединение интервалов $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

3. Сравним множества решений. Множество решений первого неравенства $(2; +\infty)$ не совпадает с множеством решений второго неравенства $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$. Например, число $x = -3$ является решением второго неравенства, но не является решением первого. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: не являются равносильными.

б) $2x + 1 \le -5$ и $x^2 + 8x + 15 \le 0$

1. Решим первое неравенство: $2x + 1 \le -5$. Вычтем 1 из обеих частей: $2x \le -6$. Разделим на 2: $x \le -3$. Множество решений — луч $(-\infty; -3]$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 8x + 15 \le 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а произведение $15$, откуда корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -3$. Неравенство можно записать в виде $(x + 5)(x + 3) \le 0$. Так как это парабола с ветвями вверх, она принимает неположительные значения на отрезке между корнями. Множество решений — отрезок $[-5; -3]$.

3. Сравним множества решений. Множество решений первого неравенства $(-\infty; -3]$ не совпадает с множеством решений второго $[-5; -3]$. Например, $x = -10$ удовлетворяет первому неравенству, но не второму. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: не являются равносильными.

в) $x \le 3$ и $x^2 - 3x \le 0$

1. Решение первого неравенства: $x \le 3$. Множество решений — луч $(-\infty; 3]$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 3x \le 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 3) \le 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Парабола $y = x^2 - 3x$ с ветвями вверх принимает неположительные значения на отрезке между корнями. Множество решений — отрезок $[0; 3]$.

3. Сравним множества решений. Множество $(-\infty; 3]$ не совпадает с множеством $[0; 3]$. Например, $x = -1$ является решением первого неравенства, но не второго. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: не являются равносильными.

г) $3x - 2 > 10$ и $x^2 - 14x + 40 < 0$

1. Решим первое неравенство: $3x - 2 > 10$. Прибавим 2 к обеим частям: $3x > 12$. Разделим на 3: $x > 4$. Множество решений — интервал $(4; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 14x + 40 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 14x + 40 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $14$, произведение $40$, откуда $x_1 = 4$ и $x_2 = 10$. Неравенство можно записать как $(x - 4)(x - 10) < 0$. Парабола с ветвями вверх принимает отрицательные значения на интервале между корнями. Множество решений — интервал $(4; 10)$.

3. Сравним множества решений. Множество $(4; +\infty)$ не совпадает с множеством $(4; 10)$. Например, $x = 12$ является решением первого неравенства, но не второго. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: не являются равносильными.