Номер 1.22, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.22 а) $|4x+3| > 5;

б) $6 - |3x+1| > 0;

В) $|3-2x| \ge 9;

Г) $4 - |3+2x| \le 0.$

а) Решим неравенство $|4x + 3| > 5$.
Неравенство с модулем вида $|f(x)| > a$, где $a > 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.
В нашем случае получаем совокупность:
$4x + 3 > 5$ или $4x + 3 < -5$.
Решим первое неравенство:
$4x > 5 - 3$
$4x > 2$
$x > \frac{2}{4}$
$x > \frac{1}{2}$
Решим второе неравенство:
$4x < -5 - 3$
$4x < -8$
$x < \frac{-8}{4}$
$x < -2$
Объединяя полученные решения, находим, что $x$ принадлежит объединению интервалов $(-\infty; -2)$ и $(\frac{1}{2}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) Решим неравенство $6 - |3x + 1| > 0$.
Сначала преобразуем неравенство, чтобы изолировать выражение с модулем:
$6 > |3x + 1|$, что эквивалентно $|3x + 1| < 6$.
Неравенство с модулем вида $|f(x)| < a$, где $a > 0$, равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.
Применяя это правило, получаем:
$-6 < 3x + 1 < 6$
Вычтем 1 из всех частей двойного неравенства:
$-6 - 1 < 3x < 6 - 1$
$-7 < 3x < 5$
Разделим все части на 3:
$-\frac{7}{3} < x < \frac{5}{3}$
Решением является интервал от $-\frac{7}{3}$ до $\frac{5}{3}$.
Ответ: $x \in (-\frac{7}{3}; \frac{5}{3})$.

в) Решим неравенство $|3 - 2x| \ge 9$.
Неравенство с модулем вида $|f(x)| \ge a$, где $a > 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.
В данном случае имеем:
$3 - 2x \ge 9$ или $3 - 2x \le -9$.
Решим первое неравенство:
$-2x \ge 9 - 3$
$-2x \ge 6$
При делении на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{6}{-2}$
$x \le -3$
Решим второе неравенство:
$-2x \le -9 - 3$
$-2x \le -12$
Снова делим на -2 и меняем знак неравенства:
$x \ge \frac{-12}{-2}$
$x \ge 6$
Объединяя решения, получаем, что $x$ принадлежит объединению интервалов $(-\infty; -3]$ и $[6; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [6; +\infty)$.

г) Решим неравенство $4 - |3 + 2x| \le 0$.
Преобразуем неравенство, чтобы изолировать модуль:
$4 \le |3 + 2x|$, что эквивалентно $|3 + 2x| \ge 4$.
Это неравенство вида $|f(x)| \ge a$, где $a > 0$, которое равносильно совокупности $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.
Получаем совокупность:
$3 + 2x \ge 4$ или $3 + 2x \le -4$.
Решим первое неравенство:
$2x \ge 4 - 3$
$2x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{2}$
Решим второе неравенство:
$2x \le -4 - 3$
$2x \le -7$
$x \le -\frac{7}{2}$
Объединяя решения, получаем, что $x$ принадлежит объединению интервалов $(-\infty; -\frac{7}{2}]$ и $[\frac{1}{2}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{7}{2}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$.