Номер 1.25, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.25 Найдите такое натуральное значение параметра $p$, при котором во множестве решений неравенства $(7 - x)(p - x) < 0$:

a) содержатся три натуральных числа;

б) не содержится ни одного целого числа.

Сначала преобразуем данное неравенство. Исходное неравенство $(7 - x)(p - x) < 0$ равносильно неравенству $(x - 7)(x - p) < 0$.

Это квадратичное неравенство относительно $x$. Корнями соответствующего уравнения $(x - 7)(x - p) = 0$ являются $x_1 = 7$ и $x_2 = p$. Решением неравенства является интервал между корнями.

Поскольку по условию $p$ — натуральное число, то $p \neq 7$. Если бы $p = 7$, неравенство приняло бы вид $(x - 7)^2 < 0$, что не имеет решений. Следовательно, мы должны рассмотреть два случая в зависимости от соотношения между $p$ и 7.

Случай 1: $p > 7$. В этом случае решением неравенства является интервал $(7, p)$.

Случай 2: $p < 7$. В этом случае решением неравенства является интервал $(p, 7)$.

а) содержит три натуральных числа;

Рассмотрим оба случая, чтобы найти подходящее значение $p$.

В Случае 1 ($p > 7$), множество решений — это интервал $(7, p)$. Мы ищем такое натуральное $p$, чтобы этот интервал содержал ровно три натуральных числа. Натуральные числа, большие 7, — это 8, 9, 10, 11, и так далее. Чтобы в интервале $(7, p)$ было ровно три натуральных числа, это должны быть числа 8, 9 и 10. Это означает, что число 10 должно принадлежать интервалу, а число 11 — не должно. Таким образом, должны выполняться условия $p > 10$ и $p \le 11$. Единственное натуральное число $p$, удовлетворяющее двойному неравенству $10 < p \le 11$, — это $p = 11$.

В Случае 2 ($p < 7$), множество решений — это интервал $(p, 7)$. Мы ищем такое натуральное $p$, чтобы этот интервал содержал ровно три натуральных числа. Натуральные числа в этом интервале — это $p+1, p+2, \dots, 6$. Количество натуральных чисел в этом списке равно $6 - (p+1) + 1 = 6 - p$. По условию, это количество равно трем. Составим уравнение: $6 - p = 3$. Отсюда находим $p = 3$. Поскольку $p=3$ — натуральное число и $3 < 7$, это значение подходит.

Таким образом, условию удовлетворяют два значения параметра: $p=3$ и $p=11$. Так как в задаче просят найти одно такое значение, можно выбрать любое из них.

Ответ: $p = 3$ (или $p = 11$).

б) не содержится ни одного целого числа.

Рассмотрим оба случая, чтобы найти подходящее значение $p$.

В Случае 1 ($p > 7$), множество решений — это интервал $(7, p)$. Чтобы этот интервал не содержал ни одного целого числа, он не должен включать наименьшее целое число, большее 7, то есть 8. Это означает, что правая граница интервала $p$ должна быть меньше или равна 8, то есть $p \le 8$. Учитывая условие $p > 7$ для этого случая, получаем двойное неравенство $7 < p \le 8$. Единственное натуральное число $p$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $p = 8$.

В Случае 2 ($p < 7$), множество решений — это интервал $(p, 7)$. Чтобы этот интервал не содержал ни одного целого числа, между числами $p$ и 7 не должно быть целых чисел. Это означает, что наименьшее целое число, большее $p$, должно быть не меньше 7. То есть, $p+1 \ge 7$, что дает $p \ge 6$. Учитывая условие $p < 7$ для этого случая, получаем двойное неравенство $6 \le p < 7$. Единственное натуральное число $p$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $p = 6$.

Таким образом, условию удовлетворяют два значения параметра: $p=6$ и $p=8$. Так как в задаче просят найти одно такое значение, можно выбрать любое из них.

Ответ: $p = 6$ (или $p = 8$).