Номер 2.5, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.5 a) $a^2 > 225$;

б) $\frac{1}{9}z^2 < 0$;

в) $b^2 \le 16$;

г) $\frac{1}{4}c^2 \ge 1$.

а) Чтобы решить неравенство $a^2 > 225$, можно извлечь квадратный корень из обеих частей. Это приводит к неравенству с модулем: $|a| > \sqrt{225}$, то есть $|a| > 15$. Решением этого неравенства является совокупность $a > 15$ и $a < -15$.
Альтернативный метод — метод интервалов. Перенесем все слагаемые в одну сторону: $a^2 - 225 > 0$. Разложим левую часть на множители как разность квадратов: $(a - 15)(a + 15) > 0$. Нули выражения — $a = 15$ и $a = -15$. Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty, -15)$, $(-15, 15)$ и $(15, \infty)$. Так как ветви параболы $y = a^2 - 225$ направлены вверх, выражение положительно на крайних интервалах. Таким образом, решение: $a \in (-\infty; -15) \cup (15; +\infty)$.
Ответ: $a < -15$ или $a > 15$.

б) Рассмотрим неравенство $\frac{1}{9}z^2 < 0$.
Выражение $z^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $z^2 \ge 0$ для любого действительного $z$. Коэффициент $\frac{1}{9}$ — положительное число. Произведение положительного числа на неотрицательное число также всегда неотрицательно: $\frac{1}{9}z^2 \ge 0$.
Таким образом, левая часть неравенства никогда не может быть строго меньше нуля. Следовательно, у данного неравенства нет действительных решений.
Ответ: нет решений.

в) Чтобы решить неравенство $b^2 \le 16$, можно извлечь квадратный корень из обеих частей. Это приводит к неравенству с модулем: $|b| \le \sqrt{16}$, то есть $|b| \le 4$. Решением этого неравенства является двойное неравенство $-4 \le b \le 4$.
Альтернативный метод — метод интервалов. Перенесем все слагаемые в одну сторону: $b^2 - 16 \le 0$. Разложим левую часть на множители как разность квадратов: $(b - 4)(b + 4) \le 0$. Нули выражения — $b = 4$ и $b = -4$. Эти точки делят числовую ось на интервалы. Так как ветви параболы $y = b^2 - 16$ направлены вверх, выражение отрицательно или равно нулю между корнями. Поскольку неравенство нестрогое, концы отрезка включаются в решение. Таким образом, решение: $b \in [-4; 4]$.
Ответ: $-4 \le b \le 4$.

г) Решим неравенство $\frac{1}{4}c^2 \ge 1$.
Сначала умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби. Так как $4 > 0$, знак неравенства не изменится: $c^2 \ge 4$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем неравенство с модулем: $|c| \ge \sqrt{4}$, то есть $|c| \ge 2$. Решением этого неравенства является совокупность $c \ge 2$ и $c \le -2$.
Альтернативный метод — метод интервалов. Перенесем все слагаемые в одну сторону: $c^2 - 4 \ge 0$. Разложим левую часть на множители: $(c - 2)(c + 2) \ge 0$. Нули выражения — $c = 2$ и $c = -2$. Так как ветви параболы $y = c^2 - 4$ направлены вверх, выражение положительно или равно нулю на крайних интервалах. Поскольку неравенство нестрогое, концы интервалов включаются в решение. Таким образом, решение: $c \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.
Ответ: $c \le -2$ или $c \ge 2$.