Номер 1.24, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.24 Найдите такое целочисленное значение параметра $p$, при котором во множестве решений неравенства $(x+2)(p-x) \ge 0$ содержатся:

a) четыре целых числа;

б) два натуральных числа;

в) два целых числа;

г) одно целое число.

Исходное неравенство: $(x + 2)(p - x) \ge 0$. Параметр $p$ — целое число. Преобразуем неравенство, умножив обе части на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный: $(x + 2)(-(x - p)) \ge 0$, что эквивалентно $(x + 2)(x - p) \le 0$.

Это квадратичное неравенство относительно переменной $x$. Корни соответствующего уравнения $(x + 2)(x - p) = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = p$. Решение неравенства зависит от взаимного расположения корней на числовой оси. Так как $p$ — целое число, рассмотрим три случая.

Случай 1: $p < -2$
В этом случае $p$ находится левее, чем $-2$. Решением неравенства $(x - p)(x - (-2)) \le 0$ является отрезок между корнями: $x \in [p, -2]$. Количество целых чисел в этом отрезке, так как $p$ и $-2$ — целые, равно $(-2) - p + 1 = -p - 1$.

Случай 2: $p = -2$
Неравенство принимает вид $(x + 2)(x - (-2)) \le 0$, то есть $(x + 2)^2 \le 0$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($(x + 2)^2 \ge 0$), единственным решением является равенство $x + 2 = 0$, откуда $x = -2$. Множество решений состоит из одного целого числа.

Случай 3: $p > -2$
В этом случае $p$ находится правее, чем $-2$. Решением неравенства является отрезок $x \in [-2, p]$. Количество целых чисел в этом отрезке равно $p - (-2) + 1 = p + 3$.

Теперь решим каждую из поставленных задач, используя эти случаи.

а) четыре целых числа

Требуется, чтобы множество решений содержало ровно четыре целых числа.

- В случае 1 ($p < -2$): количество целых чисел равно $-p - 1$. Приравниваем это количество к четырем: $-p - 1 = 4$, откуда получаем $-p = 5$, то есть $p = -5$. Это значение удовлетворяет условию $p < -2$. При $p = -5$ решением является отрезок $[-5, -2]$, который содержит целые числа $\{-5, -4, -3, -2\}$ — их ровно четыре.

- В случае 2 ($p = -2$): решение содержит только одно целое число, что не удовлетворяет условию.

- В случае 3 ($p > -2$): количество целых чисел равно $p + 3$. Приравниваем это количество к четырем: $p + 3 = 4$, откуда получаем $p = 1$. Это значение удовлетворяет условию $p > -2$. При $p = 1$ решением является отрезок $[-2, 1]$, который содержит целые числа $\{-2, -1, 0, 1\}$ — их ровно четыре.

Таким образом, подходят два значения параметра: $p = -5$ и $p = 1$. В задаче требуется найти одно такое значение.

Ответ: $p = 1$ (или $p = -5$).

б) два натуральных числа

Натуральные числа — это целые положительные числа $\{1, 2, 3, ...\}$. Требуется, чтобы множество решений содержало ровно два натуральных числа.

- В случае 1 ($p < -2$): решением является отрезок $x \in [p, -2]$. Все числа в этом отрезке неположительные, поэтому натуральных чисел среди решений нет.

- В случае 2 ($p = -2$): решение $x = -2$. Натуральных чисел нет.

- В случае 3 ($p > -2$): решением является отрезок $x \in [-2, p]$. Натуральные числа могут входить в этот отрезок только если $p \ge 1$. В этом случае натуральными решениями будут числа $\{1, 2, ..., p\}$. Их количество равно $p$. По условию, это количество должно быть равно двум, следовательно, $p = 2$. Это значение удовлетворяет условию $p > -2$. При $p = 2$ решением является отрезок $[-2, 2]$, который содержит натуральные числа $\{1, 2\}$.

Ответ: $p = 2$.

в) два целых числа

Требуется, чтобы множество решений содержало ровно два целых числа.

- В случае 1 ($p < -2$): количество целых чисел равно $-p - 1$. Приравниваем это количество к двум: $-p - 1 = 2$, откуда $-p = 3$, то есть $p = -3$. Это значение удовлетворяет условию $p < -2$. При $p = -3$ решением является отрезок $[-3, -2]$, который содержит целые числа $\{-3, -2\}$.

- В случае 2 ($p = -2$): решение содержит только одно целое число.

- В случае 3 ($p > -2$): количество целых чисел равно $p + 3$. Приравниваем это количество к двум: $p + 3 = 2$, откуда $p = -1$. Это значение удовлетворяет условию $p > -2$. При $p = -1$ решением является отрезок $[-2, -1]$, который содержит целые числа $\{-2, -1\}$.

Таким образом, подходят два значения параметра: $p = -3$ и $p = -1$.

Ответ: $p = -1$ (или $p = -3$).

г) одно целое число

Требуется, чтобы множество решений содержало ровно одно целое число.

- В случае 1 ($p < -2$): количество целых чисел равно $-p - 1$. Уравнение $-p - 1 = 1$ дает $p = -2$, что противоречит условию $p < -2$. Решений в этом случае нет.

- В случае 2 ($p = -2$): решением является единственное число $x = -2$. Это ровно одно целое число. Следовательно, $p = -2$ является решением.

- В случае 3 ($p > -2$): количество целых чисел равно $p + 3$. Уравнение $p + 3 = 1$ дает $p = -2$, что противоречит условию $p > -2$. Решений в этом случае нет.

Таким образом, единственное подходящее значение параметра — это $p = -2$.

Ответ: $p = -2$.