Номер 2.4, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.4 a) $x^2 - 4 > 0;$

Б) $x(x^2 - 9) \le 0;$

В) $x^2 - 25 \ge 0;$

Г) $x(x^2 - 64) < 0.$

a) Решим неравенство $x^2 - 4 > 0$.

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x + 2) > 0$.

Для решения неравенства используем метод интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$.

Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ и $(2, \infty)$.

Определим знак выражения $(x-2)(x+2)$ в каждом интервале. Для этого достаточно взять любую точку из интервала и подставить ее в выражение.

• При $x \in (-\infty, -2)$, например $x = -3$: $(-3 - 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = 5 > 0$. Значит, на этом интервале выражение положительно.
• При $x \in (-2, 2)$, например $x = 0$: $(0 - 2)(0 + 2) = (-2)(2) = -4 < 0$. Значит, на этом интервале выражение отрицательно.
• При $x \in (2, \infty)$, например $x = 3$: $(3 - 2)(3 + 2) = (1)(5) = 5 > 0$. Значит, на этом интервале выражение положительно.

Так как неравенство строгое ($> 0$), нас интересуют интервалы, где выражение положительно. Это $(-\infty, -2)$ и $(2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

б) Решим неравенство $x(x^2 - 9) \le 0$.

Разложим выражение $x^2 - 9$ на множители по формуле разности квадратов:

$x(x - 3)(x + 3) \le 0$.

Применим метод интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 3)(x + 3) = 0$.

Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$, $x_3 = 3$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, -3]$, $[-3, 0]$, $[0, 3]$ и $[3, \infty)$.

Определим знак выражения $x(x - 3)(x + 3)$ на каждом интервале.

• При $x \in (-\infty, -3)$, например $x = -4$: $(-4)(-4 - 3)(-4 + 3) = (-4)(-7)(-1) = -28 < 0$.
• При $x \in (-3, 0)$, например $x = -1$: $(-1)(-1 - 3)(-1 + 3) = (-1)(-4)(2) = 8 > 0$.
• При $x \in (0, 3)$, например $x = 1$: $(1)(1 - 3)(1 + 3) = (1)(-2)(4) = -8 < 0$.
• При $x \in (3, \infty)$, например $x = 4$: $(4)(4 - 3)(4 + 3) = (4)(1)(7) = 28 > 0$.

Так как неравенство нестрогое ($\le 0$), в решение входят интервалы, где выражение отрицательно, а также сами корни. Это $(-\infty, -3]$ и $[0, 3]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [0, 3]$.

в) Решим неравенство $x^2 - 25 \ge 0$.

Разложим левую часть на множители:

$(x - 5)(x + 5) \ge 0$.

Используем метод интервалов. Корни уравнения $(x - 5)(x + 5) = 0$ равны $x_1 = -5$, $x_2 = 5$.

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения в интервалах $(-\infty, -5]$, $[-5, 5]$ и $[5, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, -5)$, например $x = -6$: $(-6 - 5)(-6 + 5) = (-11)(-1) = 11 > 0$.
• При $x \in (-5, 5)$, например $x = 0$: $(0 - 5)(0 + 5) = (-5)(5) = -25 < 0$.
• При $x \in (5, \infty)$, например $x = 6$: $(6 - 5)(6 + 5) = (1)(11) = 11 > 0$.

Так как неравенство нестрогое ($\ge 0$), нас интересуют интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Это $(-\infty, -5]$ и $[5, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.

г) Решим неравенство $x(x^2 - 64) < 0$.

Разложим выражение $x^2 - 64$ на множители:

$x(x - 8)(x + 8) < 0$.

Применим метод интервалов. Корни уравнения $x(x - 8)(x + 8) = 0$ равны $x_1 = -8$, $x_2 = 0$, $x_3 = 8$.

Отметим точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, -8)$, $(-8, 0)$, $(0, 8)$ и $(8, \infty)$.

Определим знак выражения $x(x - 8)(x + 8)$ в каждом интервале.

• При $x \in (-\infty, -8)$, например $x = -9$: $(-9)(-9 - 8)(-9 + 8) = (-9)(-17)(-1) < 0$.
• При $x \in (-8, 0)$, например $x = -1$: $(-1)(-1 - 8)(-1 + 8) = (-1)(-9)(7) > 0$.
• При $x \in (0, 8)$, например $x = 1$: $(1)(1 - 8)(1 + 8) = (1)(-7)(9) < 0$.
• При $x \in (8, \infty)$, например $x = 9$: $(9)(9 - 8)(9 + 8) = (9)(1)(17) > 0$.

Так как неравенство строгое ($< 0$), нас интересуют интервалы, где выражение отрицательно. Это $(-\infty, -8)$ и $(0, 8)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup (0, 8)$.