Номер 2.1, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

2.1 а) $(x + 2)(x + 3) > 0;$

б) $(x + 3)(x - 0,5) < 0;$

в) $\left(x - \frac{1}{4}\right)(x + 4) > 0;$

г) $\left(x - \frac{4}{9}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right) < 0.$

а) $(x + 2)(x + 3) > 0$
Для решения данного квадратного неравенства воспользуемся методом интервалов.
1. Находим корни соответствующего уравнения $(x + 2)(x + 3) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$
$x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$
2. Отмечаем найденные корни на числовой прямой. Эти точки (-3 и -2) разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$ и $(-2; +\infty)$.
3. Определяем знак выражения $(x + 2)(x + 3)$ на каждом из интервалов. Для этого выбираем пробную точку из каждого интервала:
- В интервале $(-\infty; -3)$ возьмем $x = -4$. Подставляем: $(-4 + 2)(-4 + 3) = (-2)(-1) = 2$. Результат положительный (+).
- В интервале $(-3; -2)$ возьмем $x = -2,5$. Подставляем: $(-2,5 + 2)(-2,5 + 3) = (-0,5)(0,5) = -0,25$. Результат отрицательный (-).
- В интервале $(-2; +\infty)$ возьмем $x = 0$. Подставляем: $(0 + 2)(0 + 3) = (2)(3) = 6$. Результат положительный (+).
4. Согласно знаку неравенства ($> 0$), нам нужны интервалы, где выражение положительно.
Таким образом, решением является объединение интервалов $(-\infty; -3)$ и $(-2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; +\infty)$

б) $(x + 3)(x - 0,5) < 0$
Решаем методом интервалов.
1. Находим корни уравнения $(x + 3)(x - 0,5) = 0$:
$x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$
$x - 0,5 = 0 \implies x_2 = 0,5$
2. Отмечаем корни -3 и 0,5 на числовой прямой. Получаем интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0,5)$ и $(0,5; +\infty)$.
3. Определяем знаки выражения на интервалах:
- При $x = -4$: $(-4 + 3)(-4 - 0,5) = (-1)(-4,5) = 4,5 > 0$ (+).
- При $x = 0$: $(0 + 3)(0 - 0,5) = (3)(-0,5) = -1,5 < 0$ (-).
- При $x = 1$: $(1 + 3)(1 - 0,5) = (4)(0,5) = 2 > 0$ (+).
4. Так как знак неравенства ($< 0$), ищем интервал, где выражение отрицательно.
Это интервал $(-3; 0,5)$.
Ответ: $x \in (-3; 0,5)$

в) $\left(x - \frac{1}{4}\right)(x + 4) > 0$
Решаем методом интервалов.
1. Находим корни уравнения $\left(x - \frac{1}{4}\right)(x + 4) = 0$:
$x - \frac{1}{4} = 0 \implies x_1 = \frac{1}{4}$
$x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$
2. Отмечаем корни -4 и $\frac{1}{4}$ на числовой прямой. Получаем интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; \frac{1}{4})$ и $(\frac{1}{4}; +\infty)$.
3. Определяем знаки выражения на интервалах:
- При $x = -5$: $(-5 - \frac{1}{4})(-5 + 4) = (-\frac{21}{4})(-1) = \frac{21}{4} > 0$ (+).
- При $x = 0$: $(0 - \frac{1}{4})(0 + 4) = (-\frac{1}{4})(4) = -1 < 0$ (-).
- При $x = 1$: $(1 - \frac{1}{4})(1 + 4) = (\frac{3}{4})(5) = \frac{15}{4} > 0$ (+).
4. Знак неравенства ($> 0$), поэтому выбираем интервалы со знаком "+".
Это интервалы $(-\infty; -4)$ и $(\frac{1}{4}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup \left(\frac{1}{4}; +\infty\right)$

г) $\left(x - \frac{4}{9}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right) < 0$
Решаем методом интервалов.
1. Находим корни уравнения $\left(x - \frac{4}{9}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right) = 0$:
$x - \frac{4}{9} = 0 \implies x_1 = \frac{4}{9}$
$x - \frac{1}{3} = 0 \implies x_2 = \frac{1}{3}$
2. Сравним корни, чтобы правильно расположить их на прямой: $\frac{1}{3} = \frac{3}{9}$. Так как $\frac{3}{9} < \frac{4}{9}$, корень $x_2$ левее $x_1$. Получаем интервалы: $(-\infty; \frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3}; \frac{4}{9})$ и $(\frac{4}{9}; +\infty)$.
3. Определяем знаки выражения на интервалах:
- При $x = 0$: $(0 - \frac{4}{9})(0 - \frac{1}{3}) = (-\frac{4}{9})(-\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} > 0$ (+).
- В интервале $(\frac{1}{3}; \frac{4}{9})$, то есть между $\frac{3}{9}$ и $\frac{4}{9}$, возьмем $x = \frac{3,5}{9}$. Тогда $(x - \frac{4}{9})$ будет отрицательным, а $(x - \frac{1}{3})$ — положительным. Произведение будет отрицательным (-).
- При $x = 1$: $(1 - \frac{4}{9})(1 - \frac{1}{3}) = (\frac{5}{9})(\frac{2}{3}) = \frac{10}{27} > 0$ (+).
4. Знак неравенства ($< 0$), поэтому ищем интервал со знаком "-".
Это интервал $(\frac{1}{3}; \frac{4}{9})$.
Ответ: $x \in \left(\frac{1}{3}; \frac{4}{9}\right)$