Номер 1.21, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.21 a) $ \frac{x-1}{2} + \frac{x^2+x-4}{4} > \frac{0.5x^2+1}{3} $

б) $ \frac{x^2-5}{6} + \frac{x+1}{3} \ge 2 $

В) $ \frac{x^2+3x}{8} < \frac{x-1}{4} + \frac{3-2x}{2} $

Г) $ \frac{x^2+1}{15} + 3x > \frac{7x-3}{3} $

а) $ \frac{x-1}{2} + \frac{x^2+x-4}{4} > \frac{0,5x^2+1}{3} $
Сначала приведем неравенство к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2, 4 и 3 равен 12. Также преобразуем $0,5x^2$ в $\frac{1}{2}x^2$, тогда правая часть станет $\frac{\frac{1}{2}x^2+1}{3} = \frac{x^2+2}{6}$.
Умножим обе части неравенства на 12, чтобы избавиться от дробей:
$ 12 \cdot \frac{x-1}{2} + 12 \cdot \frac{x^2+x-4}{4} > 12 \cdot \frac{x^2+2}{6} $
$ 6(x-1) + 3(x^2+x-4) > 2(x^2+2) $
Раскроем скобки:
$ 6x - 6 + 3x^2 + 3x - 12 > 2x^2 + 4 $
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$ 3x^2 + 9x - 18 > 2x^2 + 4 $
Перенесем все слагаемые в левую часть и упростим:
$ 3x^2 - 2x^2 + 9x - 18 - 4 > 0 $
$ x^2 + 9x - 22 > 0 $
Теперь решим квадратное уравнение $ x^2 + 9x - 22 = 0 $, чтобы найти корни.
Используем формулу для корней квадратного уравнения: $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $.
Дискриминант $ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169 = 13^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{-9 - 13}{2} = -11 $, $ x_2 = \frac{-9 + 13}{2} = 2 $.
Мы решаем неравенство $ x^2 + 9x - 22 > 0 $. Поскольку коэффициент при $ x^2 $ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Значит, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Следовательно, $ x \in (-\infty; -11) \cup (2; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty; -11) \cup (2; +\infty) $.

б) $ \frac{x^2-5}{6} + \frac{x+1}{3} \ge 2 $
Найдем общий знаменатель для дробей. НОЗ(6, 3) = 6. Умножим обе части неравенства на 6:
$ 6 \cdot \frac{x^2-5}{6} + 6 \cdot \frac{x+1}{3} \ge 6 \cdot 2 $
$ (x^2-5) + 2(x+1) \ge 12 $
Раскроем скобки и упростим:
$ x^2 - 5 + 2x + 2 \ge 12 $
$ x^2 + 2x - 3 \ge 12 $
Перенесем 12 в левую часть:
$ x^2 + 2x - 15 \ge 0 $
Решим соответствующее уравнение $ x^2 + 2x - 15 = 0 $ для нахождения корней.
По теореме Виета, корни $ x_1 = -5 $ и $ x_2 = 3 $. (Проверка: $ (-5) \cdot 3 = -15 $, $ -5 + 3 = -2 $).
Ветви параболы $ y = x^2 + 2x - 15 $ направлены вверх ($a=1>0$). Неравенство $ \ge 0 $ выполняется на корнях и вне интервала между ними.
Таким образом, решение: $ x \in (-\infty; -5] \cup [3; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty; -5] \cup [3; +\infty) $.

в) $ \frac{x^2+3x}{8} < \frac{x-1}{4} + \frac{3-2x}{2} $
Общий знаменатель для 8, 4, 2 равен 8. Умножим неравенство на 8:
$ 8 \cdot \frac{x^2+3x}{8} < 8 \cdot \frac{x-1}{4} + 8 \cdot \frac{3-2x}{2} $
$ x^2+3x < 2(x-1) + 4(3-2x) $
Раскроем скобки в правой части:
$ x^2+3x < 2x - 2 + 12 - 8x $
$ x^2+3x < -6x + 10 $
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$ x^2 + 3x + 6x - 10 < 0 $
$ x^2 + 9x - 10 < 0 $
Найдем корни уравнения $ x^2 + 9x - 10 = 0 $.
По теореме Виета, корни $ x_1 = -10 $ и $ x_2 = 1 $. (Проверка: $ (-10) \cdot 1 = -10 $, $ -10 + 1 = -9 $).
Мы решаем неравенство $ x^2 + 9x - 10 < 0 $. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$), поэтому функция принимает отрицательные значения между корнями.
Решение: $ -10 < x < 1 $.
Ответ: $ x \in (-10; 1) $.

г) $ \frac{x^2+1}{15} + 3x > \frac{7x-3}{3} $
Общий знаменатель для 15 и 3 равен 15. Умножим неравенство на 15:
$ 15 \cdot \frac{x^2+1}{15} + 15 \cdot 3x > 15 \cdot \frac{7x-3}{3} $
$ (x^2+1) + 45x > 5(7x-3) $
Раскроем скобки и упростим:
$ x^2 + 1 + 45x > 35x - 15 $
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$ x^2 + 45x - 35x + 1 + 15 > 0 $
$ x^2 + 10x + 16 > 0 $
Найдем корни уравнения $ x^2 + 10x + 16 = 0 $.
По теореме Виета, корни $ x_1 = -8 $ и $ x_2 = -2 $. (Проверка: $ (-8) \cdot (-2) = 16 $, $ -8 + (-2) = -10 $).
Ветви параболы $ y = x^2 + 10x + 16 $ направлены вверх ($a=1>0$). Неравенство $ > 0 $ выполняется вне интервала между корнями.
Следовательно, решение: $ x \in (-\infty; -8) \cup (-2; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty; -8) \cup (-2; +\infty) $.