Страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.15 При каких значениях параметра $p$ квадратное уравнение

$3x^2 - 2px - p + 6 = 0:$

а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней;

г) имеет хотя бы один корень?

Для того чтобы определить количество корней квадратного уравнения $3x^2 - 2px - p + 6 = 0$ в зависимости от параметра $p$, необходимо исследовать знак его дискриминанта $D$.

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$. В данном случае коэффициенты равны:
$a = 3$
$b = -2p$
$c = -p + 6$

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Подставим в нее наши коэффициенты:
$D = (-2p)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-p + 6) = 4p^2 - 12(-p + 6) = 4p^2 + 12p - 72$

Для упрощения анализа вынесем общий множитель за скобки:
$D = 4(p^2 + 3p - 18)$

Знак дискриминанта $D$ полностью определяется знаком выражения в скобках $p^2 + 3p - 18$. Найдем корни этого квадратного трехчлена, решив уравнение $p^2 + 3p - 18 = 0$.
Найдем дискриминант для этого уравнения: $D_p = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.
Корни уравнения для $p$:
$p_1 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 9}{2} = -6$
$p_2 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 9}{2} = 3$

Квадратный трехчлен $p^2 + 3p - 18$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Следовательно:

• Он положителен ($> 0$), когда $p$ находится за пределами корней: $p \in (-\infty; -6) \cup (3; +\infty)$.
• Он равен нулю ($= 0$), когда $p$ совпадает с одним из корней: $p = -6$ или $p = 3$.
• Он отрицателен ($< 0$), когда $p$ находится между корнями: $p \in (-6; 3)$.

а) имеет два различных корня
Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$).
$4(p^2 + 3p - 18) > 0 \implies p^2 + 3p - 18 > 0$.
Это неравенство справедливо для значений $p$ вне интервала между корнями $-6$ и $3$.
Ответ: $p \in (-\infty; -6) \cup (3; +\infty)$.

б) имеет один корень
Уравнение имеет ровно один действительный корень (или два совпадающих корня), когда его дискриминант равен нулю ($D = 0$).
$4(p^2 + 3p - 18) = 0 \implies p^2 + 3p - 18 = 0$.
Это равенство достигается, когда $p$ равен одному из найденных корней.
Ответ: $p = -6; p = 3$.

в) не имеет корней
Уравнение не имеет действительных корней, когда его дискриминант меньше нуля ($D < 0$).
$4(p^2 + 3p - 18) < 0 \implies p^2 + 3p - 18 < 0$.
Это неравенство справедливо для значений $p$ между корнями $-6$ и $3$.
Ответ: $p \in (-6; 3)$.

г) имеет хотя бы один корень
Уравнение имеет хотя бы один корень, если оно имеет один или два корня. Это условие выполняется, когда дискриминант неотрицателен ($D \ge 0$).
$4(p^2 + 3p - 18) \ge 0 \implies p^2 + 3p - 18 \ge 0$.
Это условие является объединением случаев а) и б).
Ответ: $p \in (-\infty; -6] \cup [3; +\infty)$.

1.16 Являются ли равносильными заданные неравенства:

а) $x - 2 > 0$ и $x^2 - 4 > 0$;

б) $2x + 1 \le -5$ и $x^2 + 8x + 15 \le 0$;

в) $x \le 3$ и $x^2 - 3x \le 0$;

г) $3x - 2 > 10$ и $x^2 - 14x + 40 < 0$.

Два неравенства называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Чтобы проверить равносильность заданных пар неравенств, необходимо решить каждое из них и сравнить полученные множества решений.

а) $x - 2 > 0$ и $x^2 - 4 > 0$

1. Решим первое неравенство: $x - 2 > 0$. Перенеся $-2$ в правую часть, получаем $x > 2$. Множество решений этого неравенства — интервал $(2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 4 > 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 2)(x + 2) > 0$. Корнями соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны при $x < -2$ и при $x > 2$. Таким образом, множество решений этого неравенства — объединение интервалов $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

3. Сравним множества решений. Множество решений первого неравенства $(2; +\infty)$ не совпадает с множеством решений второго неравенства $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$. Например, число $x = -3$ является решением второго неравенства, но не является решением первого. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: не являются равносильными.

б) $2x + 1 \le -5$ и $x^2 + 8x + 15 \le 0$

1. Решим первое неравенство: $2x + 1 \le -5$. Вычтем 1 из обеих частей: $2x \le -6$. Разделим на 2: $x \le -3$. Множество решений — луч $(-\infty; -3]$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 8x + 15 \le 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а произведение $15$, откуда корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -3$. Неравенство можно записать в виде $(x + 5)(x + 3) \le 0$. Так как это парабола с ветвями вверх, она принимает неположительные значения на отрезке между корнями. Множество решений — отрезок $[-5; -3]$.

3. Сравним множества решений. Множество решений первого неравенства $(-\infty; -3]$ не совпадает с множеством решений второго $[-5; -3]$. Например, $x = -10$ удовлетворяет первому неравенству, но не второму. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: не являются равносильными.

в) $x \le 3$ и $x^2 - 3x \le 0$

1. Решение первого неравенства: $x \le 3$. Множество решений — луч $(-\infty; 3]$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 3x \le 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 3) \le 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Парабола $y = x^2 - 3x$ с ветвями вверх принимает неположительные значения на отрезке между корнями. Множество решений — отрезок $[0; 3]$.

3. Сравним множества решений. Множество $(-\infty; 3]$ не совпадает с множеством $[0; 3]$. Например, $x = -1$ является решением первого неравенства, но не второго. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: не являются равносильными.

г) $3x - 2 > 10$ и $x^2 - 14x + 40 < 0$

1. Решим первое неравенство: $3x - 2 > 10$. Прибавим 2 к обеим частям: $3x > 12$. Разделим на 3: $x > 4$. Множество решений — интервал $(4; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 14x + 40 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 14x + 40 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $14$, произведение $40$, откуда $x_1 = 4$ и $x_2 = 10$. Неравенство можно записать как $(x - 4)(x - 10) < 0$. Парабола с ветвями вверх принимает отрицательные значения на интервале между корнями. Множество решений — интервал $(4; 10)$.

3. Сравним множества решений. Множество $(4; +\infty)$ не совпадает с множеством $(4; 10)$. Например, $x = 12$ является решением первого неравенства, но не второго. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: не являются равносильными.

Решите неравенство:

1.17 a) $|x| < 5;$

б) $|x - 2| \le 3;$

В) $|7x| \le 21;$

Г) $|x + 3| < 4.$

а) Неравенство $|x| < 5$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой меньше 5. Это справедливо для всех чисел, которые одновременно больше -5 и меньше 5. Таким образом, неравенство равносильно двойному неравенству: $-5 < x < 5$. Решение в виде интервала: $(-5, 5)$.
Ответ: $x \in (-5, 5)$.

б) Неравенство $|x - 2| \le 3$ можно раскрыть как двойное неравенство. Это означает, что выражение под модулем, $x-2$, находится в пределах от -3 до 3, включая границы. $-3 \le x - 2 \le 3$. Чтобы найти $x$, прибавим 2 ко всем частям неравенства: $-3 + 2 \le x - 2 + 2 \le 3 + 2$. $-1 \le x \le 5$. Решение в виде отрезка: $[-1, 5]$.
Ответ: $x \in [-1, 5]$.

в) Неравенство $|7x| \le 21$ равносильно двойному неравенству: $-21 \le 7x \le 21$. Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 7. Так как 7 — положительное число, знак неравенства не меняется: $\frac{-21}{7} \le \frac{7x}{7} \le \frac{21}{7}$. $-3 \le x \le 3$. Решение в виде отрезка: $[-3, 3]$.
Ответ: $x \in [-3, 3]$.

г) Неравенство $|x + 3| < 4$ раскрывается как двойное неравенство: $-4 < x + 3 < 4$. Чтобы найти $x$, вычтем 3 из всех частей неравенства: $-4 - 3 < x + 3 - 3 < 4 - 3$. $-7 < x < 1$. Решение в виде интервала: $(-7, 1)$.
Ответ: $x \in (-7, 1)$.

1.18 a) $|4x| \ge 6;$

б) $|x - 1| > 8;$

в) $\left|\frac{1}{6}x\right| > 3;$

г) $|x + 4| \ge 5.$

а) Решим неравенство $|4x| \ge 6$.
Неравенство с модулем вида $|f(x)| \ge a$ (при $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.
В нашем случае это означает:
$4x \ge 6$ или $4x \le -6$.
Решаем каждое неравенство отдельно.
1) $4x \ge 6 \implies x \ge \frac{6}{4} \implies x \ge \frac{3}{2}$.
2) $4x \le -6 \implies x \le -\frac{6}{4} \implies x \le -\frac{3}{2}$.
Объединяя решения, получаем итоговый промежуток.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$.

б) Решим неравенство $|x - 1| > 8$.
Неравенство с модулем вида $|f(x)| > a$ (при $a > 0$) равносильно совокупности неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.
Получаем совокупность:
$x - 1 > 8$ или $x - 1 < -8$.
Решаем каждое неравенство.
1) $x - 1 > 8 \implies x > 8 + 1 \implies x > 9$.
2) $x - 1 < -8 \implies x < -8 + 1 \implies x < -7$.
Объединяем полученные решения.
Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (9; +\infty)$.

в) Решим неравенство $|\frac{1}{6}x| > 3$.
Данное неравенство равносильно совокупности:
$\frac{1}{6}x > 3$ или $\frac{1}{6}x < -3$.
Решаем каждое неравенство.
1) $\frac{1}{6}x > 3$. Умножим обе части на 6: $x > 3 \cdot 6 \implies x > 18$.
2) $\frac{1}{6}x < -3$. Умножим обе части на 6: $x < -3 \cdot 6 \implies x < -18$.
Объединяем решения.
Ответ: $x \in (-\infty; -18) \cup (18; +\infty)$.

г) Решим неравенство $|x + 4| \ge 5$.
Это неравенство равносильно совокупности:
$x + 4 \ge 5$ или $x + 4 \le -5$.
Решаем каждое неравенство.
1) $x + 4 \ge 5 \implies x \ge 5 - 4 \implies x \ge 1$.
2) $x + 4 \le -5 \implies x \le -5 - 4 \implies x \le -9$.
Объединяем решения.
Ответ: $x \in (-\infty; -9] \cup [1; +\infty)$.

1.19 а) $ |1 - x| > 2; $

б) $ |-2 - x| \le 4; $

В) $ |3 - x| \ge 3; $

Г) $ |-5 - x| < 7. $

Дано неравенство $|1 - x| > 2$.

Неравенство с модулем вида $|A| > B$ (при $B>0$) равносильно совокупности (логическому "ИЛИ") двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.

В нашем случае получаем совокупность:

$1 - x > 2$ или $1 - x < -2$.

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) Решаем $1 - x > 2$:

$-x > 2 - 1$

$-x > 1$

Умножаем на -1 и меняем знак неравенства:

$x < -1$

2) Решаем $1 - x < -2$:

$-x < -2 - 1$

$-x < -3$

Умножаем на -1 и меняем знак неравенства:

$x > 3$

Объединение решений этих двух неравенств ($x < -1$ или $x > 3$) является решением исходного неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

Дано неравенство $|-2 - x| \leq 4$.

Неравенство вида $|A| \leq B$ (при $B \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-B \leq A \leq B$.

В нашем случае получаем:

$-4 \leq -2 - x \leq 4$.

Чтобы выделить $x$, сначала прибавим 2 ко всем частям двойного неравенства:

$-4 + 2 \leq -2 - x + 2 \leq 4 + 2$

$-2 \leq -x \leq 6$.

Теперь умножим все части на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-2) \cdot (-1) \geq (-x) \cdot (-1) \geq 6 \cdot (-1)$

$2 \geq x \geq -6$.

Для удобства записи перепишем неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-6 \leq x \leq 2$.

Ответ: $x \in [-6, 2]$.

Дано неравенство $|3 - x| \geq 3$.

Неравенство вида $|A| \geq B$ (при $B \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $A \geq B$ или $A \leq -B$.

Получаем совокупность:

$3 - x \geq 3$ или $3 - x \leq -3$.

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) Решаем $3 - x \geq 3$:

$-x \geq 3 - 3$

$-x \geq 0$

$x \leq 0$

2) Решаем $3 - x \leq -3$:

$-x \leq -3 - 3$

$-x \leq -6$

$x \geq 6$

Объединяем полученные решения: $x \leq 0$ или $x \geq 6$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [6, \infty)$.

Дано неравенство $|-5 - x| < 7$.

Неравенство вида $|A| < B$ (при $B > 0$) равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.

В нашем случае получаем:

$-7 < -5 - x < 7$.

Прибавим 5 ко всем частям двойного неравенства:

$-7 + 5 < -5 - x + 5 < 7 + 5$

$-2 < -x < 12$.

Теперь умножим все части на -1, меняя знаки неравенства на противоположные:

$(-2) \cdot (-1) > (-x) \cdot (-1) > 12 \cdot (-1)$

$2 > x > -12$.

Запишем это в стандартном виде:

$-12 < x < 2$.

Ответ: $x \in (-12, 2)$.

Решите неравенство:

1.20 а) $2x^2 + x < 2;$

б) $3 - x^2 \le x;$

в) $x^2 - 4x + 2 \ge 0;$

г) $x + 1 > x^2.$

а) $2x^2 + x < 2$
Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:
$2x^2 + x - 2 < 0$
Чтобы решить это неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + x - 2 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$
Графиком функции $y = 2x^2 + x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент $a=2 > 0$). Значения функции будут отрицательными ($y < 0$) на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства есть интервал $(x_1, x_2)$.
Ответ: $(\frac{-1 - \sqrt{17}}{4}; \frac{-1 + \sqrt{17}}{4})$.

б) $3 - x^2 \le x$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:
$0 \le x^2 + x - 3$
или
$x^2 + x - 3 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$
Графиком функции $y = x^2 + x - 3$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Значения функции будут неотрицательными ($y \ge 0$) вне интервала между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства — это объединение двух лучей.
Ответ: $(-\infty; \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}; +\infty)$.

в) $x^2 - 4x + 2 \ge 0$
Неравенство уже представлено в стандартном виде. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 2 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.
$\sqrt{D} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-4) - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}$
$x_2 = \frac{-(-4) + 2\sqrt{2}}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2}$
Парабола $y = x^2 - 4x + 2$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится левее меньшего корня или правее большего корня, включая сами корни.
Ответ: $(-\infty; 2 - \sqrt{2}] \cup [2 + \sqrt{2}; +\infty)$.

г) $x + 1 > x^2$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 > x^2 - x - 1$
или
$x^2 - x - 1 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{5}}{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{5}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
Парабола $y = x^2 - x - 1$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Ответ: $(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$.

1.21 a) $ \frac{x-1}{2} + \frac{x^2+x-4}{4} > \frac{0.5x^2+1}{3} $

б) $ \frac{x^2-5}{6} + \frac{x+1}{3} \ge 2 $

В) $ \frac{x^2+3x}{8} < \frac{x-1}{4} + \frac{3-2x}{2} $

Г) $ \frac{x^2+1}{15} + 3x > \frac{7x-3}{3} $

а) $ \frac{x-1}{2} + \frac{x^2+x-4}{4} > \frac{0,5x^2+1}{3} $
Сначала приведем неравенство к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2, 4 и 3 равен 12. Также преобразуем $0,5x^2$ в $\frac{1}{2}x^2$, тогда правая часть станет $\frac{\frac{1}{2}x^2+1}{3} = \frac{x^2+2}{6}$.
Умножим обе части неравенства на 12, чтобы избавиться от дробей:
$ 12 \cdot \frac{x-1}{2} + 12 \cdot \frac{x^2+x-4}{4} > 12 \cdot \frac{x^2+2}{6} $
$ 6(x-1) + 3(x^2+x-4) > 2(x^2+2) $
Раскроем скобки:
$ 6x - 6 + 3x^2 + 3x - 12 > 2x^2 + 4 $
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$ 3x^2 + 9x - 18 > 2x^2 + 4 $
Перенесем все слагаемые в левую часть и упростим:
$ 3x^2 - 2x^2 + 9x - 18 - 4 > 0 $
$ x^2 + 9x - 22 > 0 $
Теперь решим квадратное уравнение $ x^2 + 9x - 22 = 0 $, чтобы найти корни.
Используем формулу для корней квадратного уравнения: $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $.
Дискриминант $ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169 = 13^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{-9 - 13}{2} = -11 $, $ x_2 = \frac{-9 + 13}{2} = 2 $.
Мы решаем неравенство $ x^2 + 9x - 22 > 0 $. Поскольку коэффициент при $ x^2 $ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Значит, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Следовательно, $ x \in (-\infty; -11) \cup (2; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty; -11) \cup (2; +\infty) $.

б) $ \frac{x^2-5}{6} + \frac{x+1}{3} \ge 2 $
Найдем общий знаменатель для дробей. НОЗ(6, 3) = 6. Умножим обе части неравенства на 6:
$ 6 \cdot \frac{x^2-5}{6} + 6 \cdot \frac{x+1}{3} \ge 6 \cdot 2 $
$ (x^2-5) + 2(x+1) \ge 12 $
Раскроем скобки и упростим:
$ x^2 - 5 + 2x + 2 \ge 12 $
$ x^2 + 2x - 3 \ge 12 $
Перенесем 12 в левую часть:
$ x^2 + 2x - 15 \ge 0 $
Решим соответствующее уравнение $ x^2 + 2x - 15 = 0 $ для нахождения корней.
По теореме Виета, корни $ x_1 = -5 $ и $ x_2 = 3 $. (Проверка: $ (-5) \cdot 3 = -15 $, $ -5 + 3 = -2 $).
Ветви параболы $ y = x^2 + 2x - 15 $ направлены вверх ($a=1>0$). Неравенство $ \ge 0 $ выполняется на корнях и вне интервала между ними.
Таким образом, решение: $ x \in (-\infty; -5] \cup [3; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty; -5] \cup [3; +\infty) $.

в) $ \frac{x^2+3x}{8} < \frac{x-1}{4} + \frac{3-2x}{2} $
Общий знаменатель для 8, 4, 2 равен 8. Умножим неравенство на 8:
$ 8 \cdot \frac{x^2+3x}{8} < 8 \cdot \frac{x-1}{4} + 8 \cdot \frac{3-2x}{2} $
$ x^2+3x < 2(x-1) + 4(3-2x) $
Раскроем скобки в правой части:
$ x^2+3x < 2x - 2 + 12 - 8x $
$ x^2+3x < -6x + 10 $
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$ x^2 + 3x + 6x - 10 < 0 $
$ x^2 + 9x - 10 < 0 $
Найдем корни уравнения $ x^2 + 9x - 10 = 0 $.
По теореме Виета, корни $ x_1 = -10 $ и $ x_2 = 1 $. (Проверка: $ (-10) \cdot 1 = -10 $, $ -10 + 1 = -9 $).
Мы решаем неравенство $ x^2 + 9x - 10 < 0 $. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$), поэтому функция принимает отрицательные значения между корнями.
Решение: $ -10 < x < 1 $.
Ответ: $ x \in (-10; 1) $.

г) $ \frac{x^2+1}{15} + 3x > \frac{7x-3}{3} $
Общий знаменатель для 15 и 3 равен 15. Умножим неравенство на 15:
$ 15 \cdot \frac{x^2+1}{15} + 15 \cdot 3x > 15 \cdot \frac{7x-3}{3} $
$ (x^2+1) + 45x > 5(7x-3) $
Раскроем скобки и упростим:
$ x^2 + 1 + 45x > 35x - 15 $
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$ x^2 + 45x - 35x + 1 + 15 > 0 $
$ x^2 + 10x + 16 > 0 $
Найдем корни уравнения $ x^2 + 10x + 16 = 0 $.
По теореме Виета, корни $ x_1 = -8 $ и $ x_2 = -2 $. (Проверка: $ (-8) \cdot (-2) = 16 $, $ -8 + (-2) = -10 $).
Ветви параболы $ y = x^2 + 10x + 16 $ направлены вверх ($a=1>0$). Неравенство $ > 0 $ выполняется вне интервала между корнями.
Следовательно, решение: $ x \in (-\infty; -8) \cup (-2; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty; -8) \cup (-2; +\infty) $.