Номер 1.20, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

1.20 а) $2x^2 + x < 2;$

б) $3 - x^2 \le x;$

в) $x^2 - 4x + 2 \ge 0;$

г) $x + 1 > x^2.$

а) $2x^2 + x < 2$
Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:
$2x^2 + x - 2 < 0$
Чтобы решить это неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + x - 2 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$
Графиком функции $y = 2x^2 + x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент $a=2 > 0$). Значения функции будут отрицательными ($y < 0$) на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства есть интервал $(x_1, x_2)$.
Ответ: $(\frac{-1 - \sqrt{17}}{4}; \frac{-1 + \sqrt{17}}{4})$.

б) $3 - x^2 \le x$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:
$0 \le x^2 + x - 3$
или
$x^2 + x - 3 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$
Графиком функции $y = x^2 + x - 3$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Значения функции будут неотрицательными ($y \ge 0$) вне интервала между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства — это объединение двух лучей.
Ответ: $(-\infty; \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}; +\infty)$.

в) $x^2 - 4x + 2 \ge 0$
Неравенство уже представлено в стандартном виде. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 2 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.
$\sqrt{D} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-4) - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}$
$x_2 = \frac{-(-4) + 2\sqrt{2}}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2}$
Парабола $y = x^2 - 4x + 2$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится левее меньшего корня или правее большего корня, включая сами корни.
Ответ: $(-\infty; 2 - \sqrt{2}] \cup [2 + \sqrt{2}; +\infty)$.

г) $x + 1 > x^2$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 > x^2 - x - 1$
или
$x^2 - x - 1 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{5}}{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{5}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
Парабола $y = x^2 - x - 1$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Ответ: $(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$.