Номер 1.13, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.13 а) $\frac{1}{\sqrt{-a^2 - a + 2}}$;

б) $\sqrt{(-b^2 + 3b + 4)^{-1}}$;

В) $\sqrt{\frac{7}{14 - 2c^2 - 3c}}$;

Г) $\sqrt{(-3y^2 + 10y - 3)^{-1}}$.

а)

Данное выражение определено, когда подкоренное выражение строго больше нуля, так как квадратный корень находится в знаменателе дроби. Следовательно, необходимо решить неравенство:

$-a^2 - a + 2 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$a^2 + a - 2 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 + a - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -2. Таким образом, корни уравнения: $a_1 = 1$ и $a_2 = -2$.

Графиком функции $y = a^2 + a - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения этой функции отрицательны на интервале между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-2; 1)$.

Ответ: $a \in (-2; 1)$.

б)

Выражение можно преобразовать к виду $\sqrt{\frac{1}{-b^2 + 3b + 4}}$. Данное выражение определено, когда выражение под корнем неотрицательно. Так как числитель дроби (1) положителен, знаменатель также должен быть строго положителен (не может быть равен нулю). Таким образом, решаем неравенство:

$-b^2 + 3b + 4 > 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$b^2 - 3b - 4 < 0$

Найдем корни уравнения $b^2 - 3b - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Отсюда корни: $b_1 = 4$ и $b_2 = -1$.

Парабола $y = b^2 - 3b - 4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-1 < b < 4$.

Ответ: $b \in (-1; 4)$.

в)

Выражение $\sqrt{\frac{7}{14 - 2c^2 - 3c}}$ определено, когда подкоренное выражение неотрицательно. Так как числитель 7 положителен, знаменатель дроби должен быть строго положительным. Решаем неравенство:

$14 - 2c^2 - 3c > 0$

Запишем в стандартном виде: $-2c^2 - 3c + 14 > 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$2c^2 + 3c - 14 < 0$

Найдем корни уравнения $2c^2 + 3c - 14 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

Корни уравнения: $c_1 = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$ и $c_2 = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5$.

Парабола $y = 2c^2 + 3c - 14$ имеет ветви, направленные вверх, и принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-3.5 < c < 2$.

Ответ: $c \in (-3.5; 2)$.

г)

Преобразуем выражение: $\sqrt{(-3y^2 + 10y - 3)^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{-3y^2 + 10y - 3}}$. Выражение определено, когда подкоренное выражение неотрицательно. Так как числитель 1 положителен, знаменатель должен быть строго больше нуля. Решаем неравенство:

$-3y^2 + 10y - 3 > 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим его знак:

$3y^2 - 10y + 3 < 0$

Найдем корни уравнения $3y^2 - 10y + 3 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

Корни уравнения: $y_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$ и $y_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Графиком функции $y = 3y^2 - 10y + 3$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она отрицательна на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $\frac{1}{3} < y < 3$.

Ответ: $y \in (\frac{1}{3}; 3)$.