Номер 1.6, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.6 a) $4x^2 + 4x - 3 \geq 0;$

Б) $12x^2 + x - 1 < 0;$

В) $6x^2 - 7x - 20 \leq 0;$

Г) $15x^2 - 29x - 2 > 0.$

а) $4x^2 + 4x - 3 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства мы сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 + 4x - 3 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта.

1. Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.

2. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

3. Теперь рассмотрим функцию $y = 4x^2 + 4x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a = 4$ положителен. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -3/2$ и $x = 1/2$.

4. Нам нужно найти, где $4x^2 + 4x - 3 \ge 0$, то есть где значения функции неотрицательны (график находится на оси Ox или выше нее). Это происходит на интервалах слева от меньшего корня и справа от большего корня. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), сами корни включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) $12x^2 + x - 1 < 0$

1. Найдем корни уравнения $12x^2 + x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49$.

2. Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-1 - 7}{24} = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-1 + 7}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

3. Парабола $y = 12x^2 + x - 1$ имеет ветви, направленные вверх ($a=12 > 0$).

4. Мы ищем значения $x$, для которых $12x^2 + x - 1 < 0$, то есть где график параболы находится ниже оси Ox. Это интервал между корнями. Поскольку неравенство строгое (<), корни не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; \frac{1}{4})$.

в) $6x^2 - 7x - 20 \le 0$

1. Найдем корни уравнения $6x^2 - 7x - 20 = 0$.
Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-20) = 49 + 480 = 529$.

2. Корни уравнения (обратите внимание, что $\sqrt{529} = 23$):
$x_1 = \frac{7 - \sqrt{529}}{2 \cdot 6} = \frac{7 - 23}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}$
$x_2 = \frac{7 + \sqrt{529}}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 23}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$

3. Парабола $y = 6x^2 - 7x - 20$ имеет ветви, направленные вверх ($a=6 > 0$).

4. Мы ищем значения $x$, для которых $6x^2 - 7x - 20 \le 0$, то есть где график параболы находится на оси Ox или ниже нее. Это отрезок между корнями. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), корни включаются в решение.

Ответ: $x \in [-\frac{4}{3}; \frac{5}{2}]$.

г) $15x^2 - 29x - 2 > 0$

1. Найдем корни уравнения $15x^2 - 29x - 2 = 0$.
Дискриминант: $D = (-29)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 841 + 120 = 961$.

2. Корни уравнения (обратите внимание, что $\sqrt{961} = 31$):
$x_1 = \frac{29 - \sqrt{961}}{2 \cdot 15} = \frac{29 - 31}{30} = \frac{-2}{30} = -\frac{1}{15}$
$x_2 = \frac{29 + \sqrt{961}}{2 \cdot 15} = \frac{29 + 31}{30} = \frac{60}{30} = 2$

3. Парабола $y = 15x^2 - 29x - 2$ имеет ветви, направленные вверх ($a=15 > 0$).

4. Мы ищем значения $x$, для которых $15x^2 - 29x - 2 > 0$, то есть где график параболы находится выше оси Ox. Это происходит на интервалах слева от меньшего корня и справа от большего корня. Поскольку неравенство строгое ($>$), сами корни не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{15}) \cup (2; +\infty)$.