Номер 1.7, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.7 a) $3x^2 + x + 2 > 0;$

б) $-3x^2 + 2x - 1 \geq 0;$

В) $5x^2 - 2x + 1 < 0;$

Г) $-7x^2 + 5x - 2 \leq 0.$

а) $3x^2 + x + 2 > 0$

Для решения данного квадратного неравенства рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 3x^2 + x + 2$. Графиком этой функции является парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Старший коэффициент $a = 3$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), для чего решим квадратное уравнение $3x^2 + x + 2 = 0$. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23$.

3. Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Это означает, что значение выражения $3x^2 + x + 2$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $-3x^2 + 2x - 1 \ge 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -3x^2 + 2x - 1$. Графиком является парабола.

1. Определим направление ветвей. Старший коэффициент $a = -3$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $-3x^2 + 2x - 1 = 0$. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-1) = 4 - 12 = -8$.

3. Так как дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, следовательно, парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена ниже оси Ox. Это означает, что значение выражения $-3x^2 + 2x - 1$ всегда отрицательно. Не существует таких значений $x$, при которых это выражение было бы больше или равно нулю.

Ответ: нет решений.

в) $5x^2 - 2x + 1 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 5x^2 - 2x + 1$. Графиком является парабола.

1. Определим направление ветвей. Старший коэффициент $a = 5$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $5x^2 - 2x + 1 = 0$. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 - 20 = -16$.

3. Так как дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола находится выше оси Ox. Это означает, что значение выражения $5x^2 - 2x + 1$ всегда положительно. Не существует таких значений $x$, при которых это выражение было бы меньше нуля.

Ответ: нет решений.

г) $-7x^2 + 5x - 2 \le 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -7x^2 + 5x - 2$. Графиком является парабола.

1. Определим направление ветвей. Старший коэффициент $a = -7$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $-7x^2 + 5x - 2 = 0$. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-7) \cdot (-2) = 25 - 56 = -31$.

3. Так как дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола находится ниже оси Ox. Это означает, что значение выражения $-7x^2 + 5x - 2$ всегда отрицательно. Следовательно, неравенство $-7x^2 + 5x - 2 \le 0$ выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.