Номер 1.11, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.11 a) $\frac{1}{\sqrt{4 - 2x}}$;

б) $\sqrt{(3 + x)^{-1}}$;

в) $\frac{10}{\sqrt{-x - 5}}$;

г) $\sqrt{(2x - 6)^{-1}}$.

а)

Для нахождения области определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{4 - 2x}}$ необходимо, чтобы выражение, находящееся под знаком квадратного корня в знаменателе, было строго больше нуля. Это требование объединяет два условия: выражение под корнем должно быть неотрицательным ($4 - 2x \ge 0$), а знаменатель не должен быть равен нулю ($\sqrt{4 - 2x} \ne 0$).
Составим и решим строгое неравенство:
$4 - 2x > 0$
Вычтем 4 из обеих частей:
$-2x > -4$
Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-4}{-2}$
$x < 2$
Таким образом, область определения функции — это интервал от минус бесконечности до 2, не включая 2.

Ответ: $(-\infty; 2)$

б)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{(3 + x)^{-1}}$.
Степень с показателем -1 означает обратную величину, поэтому функцию можно переписать следующим образом:
$y = \sqrt{\frac{1}{3 + x}}$
Используя свойство корня из дроби, получаем:
$y = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3 + x}} = \frac{1}{\sqrt{3 + x}}$
Как и в предыдущем задании, выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$3 + x > 0$
Вычтем 3 из обеих частей неравенства:
$x > -3$
Область определения функции — это интервал от -3 до плюс бесконечности, не включая -3.

Ответ: $(-3; +\infty)$

в)

Для функции $y = \frac{10}{\sqrt{-x - 5}}$ область определения находится из условия, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным.
Решим неравенство:
$-x - 5 > 0$
Прибавим 5 к обеим частям:
$-x > 5$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < -5$
Область определения функции — это интервал от минус бесконечности до -5, не включая -5.

Ответ: $(-\infty; -5)$

г)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{(2x - 6)^{-1}}$.
Преобразуем выражение, используя свойство отрицательной степени:
$y = \sqrt{\frac{1}{2x - 6}}$
Это выражение эквивалентно $y = \frac{1}{\sqrt{2x - 6}}$.
Потребуем, чтобы выражение под корнем в знаменателе было строго положительным:
$2x - 6 > 0$
Прибавим 6 к обеим частям:
$2x > 6$
Разделим обе части на 2:
$x > 3$
Область определения функции — это интервал от 3 до плюс бесконечности, не включая 3.

Ответ: $(3; +\infty)$