Номер 1.10, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите область определения выражения:

1.10 а) $\sqrt{3x^2 + 28x + 9};$

б) $\sqrt{5x - x^2 + 6};$

в) $\sqrt{2x^2 + 7x - 9};$

г) $\sqrt{21 - 4x - x^2}.$

а) Область определения выражения $\sqrt{3x^2 + 28x + 9}$ — это множество всех значений $x$, для которых подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:
$3x^2 + 28x + 9 \ge 0$
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 28x + 9 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676$.
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-28 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{-54}{6} = -9$
$x_2 = \frac{-28 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Графиком функции $y = 3x^2 + 28x + 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3>0$). Следовательно, квадратный трехчлен принимает неотрицательные значения при $x$, находящихся вне интервала между корнями.
Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: $x \le -9$ или $x \ge -\frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -9] \cup [-\frac{1}{3}, +\infty)$.

б) Область определения выражения $\sqrt{5x - x^2 + 6}$ задается неравенством:
$5x - x^2 + 6 \ge 0$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:
$x^2 - 5x - 6 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$x_2 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Графиком функции $y = x^2 - 5x - 6$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Квадратный трехчлен принимает неположительные значения ($ \le 0$) при $x$, находящихся между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением неравенства является отрезок: $-1 \le x \le 6$.
Ответ: $x \in [-1, 6]$.

в) Область определения выражения $\sqrt{2x^2 + 7x - 9}$ задается неравенством:
$2x^2 + 7x - 9 \ge 0$
Найдем корни уравнения $2x^2 + 7x - 9 = 0$.
Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$.
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -4.5$
$x_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Графиком функции $y = 2x^2 + 7x - 9$ является парабола с ветвями вверх ($a=2>0$). Неравенство $\ge 0$ выполняется при значениях $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.
Решение неравенства: $x \le -4.5$ или $x \ge 1$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4.5] \cup [1, +\infty)$.

г) Область определения выражения $\sqrt{21 - 4x - x^2}$ задается неравенством:
$21 - 4x - x^2 \ge 0$
Перепишем в стандартном виде и умножим на -1, изменив знак неравенства:
$-x^2 - 4x + 21 \ge 0$
$x^2 + 4x - 21 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$.
Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.
$\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Графиком функции $y = x^2 + 4x - 21$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Неравенство $\le 0$ выполняется при значениях $x$ между корнями.
Решение неравенства: $-7 \le x \le 3$.
Ответ: $x \in [-7, 3]$.