Номер 1.8, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.8 a) $4x^2 - 12x + 9 > 0$;

б) $25x^2 + 40x + 16 \le 0$;

В) $16x^2 - 40x + 25 \ge 0$;

Г) $9x^2 + 12x + 4 < 0$.

а) Решим неравенство $4x^2 - 12x + 9 > 0$.
Заметим, что левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = 2x$ и $b = 3$. Тогда $4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2$.
Неравенство принимает вид: $(2x - 3)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного выражения всегда неотрицателен, то есть $(2x - 3)^2 \ge 0$. Строгое неравенство $(2x - 3)^2 > 0$ будет выполняться для всех значений $x$, кроме тех, при которых выражение равно нулю.
Найдем, когда $(2x - 3)^2 = 0$:
$2x - 3 = 0$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2}$ или $x = 1.5$.
Таким образом, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x = 1.5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$.

б) Решим неравенство $25x^2 + 40x + 16 \le 0$.
Левая часть этого неравенства является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = 5x$ и $b = 4$. Тогда $25x^2 + 40x + 16 = (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot 4 + 4^2 = (5x + 4)^2$.
Неравенство можно переписать в виде: $(5x + 4)^2 \le 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Это означает, что $(5x + 4)^2$ не может быть меньше нуля. Единственный случай, когда это неравенство может быть верным, — это когда выражение равно нулю.
$(5x + 4)^2 = 0$
$5x + 4 = 0$
$5x = -4$
$x = -\frac{4}{5}$ или $x = -0.8$.
Неравенство имеет единственное решение.
Ответ: $x = -0.8$.

в) Решим неравенство $16x^2 - 40x + 25 \ge 0$.
Левая часть неравенства — это полный квадрат разности: $16x^2 - 40x + 25 = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 5 + 5^2 = (4x - 5)^2$.
Неравенство принимает вид: $(4x - 5)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Следовательно, это неравенство выполняется при любом действительном значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) Решим неравенство $9x^2 + 12x + 4 < 0$.
Левая часть неравенства является полным квадратом суммы: $9x^2 + 12x + 4 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = (3x + 2)^2$.
Неравенство принимает вид: $(3x + 2)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $(3x + 2)^2 \ge 0$ для любого $x$. Выражение в левой части никогда не может быть строго меньше нуля. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.