Номер 1.14, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.14 a) $\sqrt{(3 - x)(x + 7)};$

б) $\frac{1}{\sqrt{(y - 4)(3y + 5)}};$

В) $\sqrt{(t + 4)(9 + t)};$

Г) $\frac{-5}{\sqrt{(2z - 1)(-z - 3)}}.$

а) Областью определения данного выражения является множество всех значений $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Запишем соответствующее неравенство:

$(3 - x)(x + 7) \ge 0$

Для решения воспользуемся методом интервалов. Найдём корни левой части неравенства, решив уравнение $(3 - x)(x + 7) = 0$. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -7$.

Нанесём эти точки на числовую ось. Они разбивают ось на три промежутка. Определим знак выражения $(3 - x)(x + 7)$ на каждом из них:

- На интервале $(-\infty; -7)$, возьмём $x = -8$: $(3 - (-8))(-8 + 7) = 11 \cdot (-1) = -11 < 0$.
- На интервале $(-7; 3)$, возьмём $x = 0$: $(3 - 0)(0 + 7) = 3 \cdot 7 = 21 > 0$.
- На интервале $(3; +\infty)$, возьмём $x = 4$: $(3 - 4)(4 + 7) = -1 \cdot 11 = -11 < 0$.

Поскольку неравенство имеет вид $\ge 0$, решением является промежуток, где выражение положительно, включая точки, где оно равно нулю.

Ответ: $x \in [-7; 3]$.

б) В данном выражении подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Также следует учесть, что знаменатель не может быть равен нулю.

$\frac{1}{(y - 4)(3y + 5)} \ge 0$

Так как числитель дроби равен 1 (положительное число), для выполнения неравенства знаменатель дроби должен быть строго положительным.

$(y - 4)(3y + 5) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $(y - 4)(3y + 5) = 0$:

$y - 4 = 0 \implies y = 4$
$3y + 5 = 0 \implies y = -5/3$

Нанесём точки $-5/3$ и $4$ на числовую ось и определим знаки выражения $(y - 4)(3y + 5)$ на полученных интервалах:

- На интервале $(-\infty; -5/3)$, возьмём $y = -2$: $(-2 - 4)(3(-2) + 5) = (-6)(-1) = 6 > 0$.
- На интервале $(-5/3; 4)$, возьмём $y = 0$: $(0 - 4)(3(0) + 5) = (-4)(5) = -20 < 0$.
- На интервале $(4; +\infty)$, возьмём $y = 5$: $(5 - 4)(3(5) + 5) = 1 \cdot 20 = 20 > 0$.

Поскольку неравенство строгое ($> 0$), решением будут интервалы, где выражение положительно, не включая концы.

Ответ: $y \in (-\infty; -5/3) \cup (4; +\infty)$.

в) Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

$(t + 4)(9 + t) \ge 0$

Решаем методом интервалов. Находим корни уравнения $(t + 4)(9 + t) = 0$:

$t + 4 = 0 \implies t = -4$
$9 + t = 0 \implies t = -9$

Нанесём корни -9 и -4 на числовую ось и определим знаки выражения на интервалах:

- На интервале $(-\infty; -9)$, возьмём $t = -10$: $(-10 + 4)(-10 + 9) = (-6)(-1) = 6 > 0$.
- На интервале $(-9; -4)$, возьмём $t = -5$: $(-5 + 4)(-5 + 9) = (-1)(4) = -4 < 0$.
- На интервале $(-4; +\infty)$, возьмём $t = 0$: $(0 + 4)(0 + 9) = 4 \cdot 9 = 36 > 0$.

Выбираем промежутки, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $t \in (-\infty; -9] \cup [-4; +\infty)$.

г) В данном выражении квадратный корень находится в знаменателе. Это означает, что подкоренное выражение должно быть строго положительным (не может быть равно нулю).

$(2z - 1)(-z - 3) > 0$

Для удобства вынесем знак минус из второй скобки: $-(2z - 1)(z + 3) > 0$. Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$(2z - 1)(z + 3) < 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $(2z - 1)(z + 3) = 0$:

$2z - 1 = 0 \implies z = 1/2$
$z + 3 = 0 \implies z = -3$

Нанесём точки -3 и 1/2 на числовую ось и определим знаки выражения $(2z - 1)(z + 3)$ на интервалах:

- На интервале $(-\infty; -3)$, возьмём $z = -4$: $(2(-4) - 1)(-4 + 3) = (-9)(-1) = 9 > 0$.
- На интервале $(-3; 1/2)$, возьмём $z = 0$: $(2(0) - 1)(0 + 3) = (-1)(3) = -3 < 0$.
- На интервале $(1/2; +\infty)$, возьмём $z = 1$: $(2(1) - 1)(1 + 3) = 1 \cdot 4 = 4 > 0$.

Нам нужен интервал, где выражение $(2z - 1)(z + 3)$ меньше нуля.

Ответ: $z \in (-3; 1/2)$.