Номер 1.14, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.14 a) $\sqrt{(3 - x)(x + 7)};$

б) $\frac{1}{\sqrt{(y - 4)(3y + 5)}};$

В) $\sqrt{(t + 4)(9 + t)};$

Г) $\frac{-5}{\sqrt{(2z - 1)(-z - 3)}}.$

а) Областью определения данного выражения является множество всех значений $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Запишем соответствующее неравенство:

$ (3 - x)(x + 7) \ge 0 $

Для решения воспользуемся методом интервалов. Найдём корни левой части неравенства, решив уравнение $ (3 - x)(x + 7) = 0 $. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -7$.

Нанесём эти точки на числовую ось. Они разбивают ось на три промежутка. Определим знак выражения $ (3 - x)(x + 7) $ на каждом из них:

- На интервале $ (-\infty; -7) $, возьмём $x = -8$: $ (3 - (-8))(-8 + 7) = 11 \cdot (-1) = -11 < 0 $.
- На интервале $ (-7; 3) $, возьмём $x = 0$: $ (3 - 0)(0 + 7) = 3 \cdot 7 = 21 > 0 $.
- На интервале $ (3; +\infty) $, возьмём $x = 4$: $ (3 - 4)(4 + 7) = -1 \cdot 11 = -11 < 0 $.

Поскольку неравенство имеет вид $ \ge 0 $, решением является промежуток, где выражение положительно, включая точки, где оно равно нулю.

Ответ: $ x \in [-7; 3] $.

б) В данном выражении подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Также следует учесть, что знаменатель не может быть равен нулю.

$ \frac{1}{(y - 4)(3y + 5)} \ge 0 $

Так как числитель дроби равен 1 (положительное число), для выполнения неравенства знаменатель дроби должен быть строго положительным.

$ (y - 4)(3y + 5) > 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $ (y - 4)(3y + 5) = 0 $:

$ y - 4 = 0 \implies y = 4 $
$ 3y + 5 = 0 \implies y = -5/3 $

Нанесём точки $ -5/3 $ и $ 4 $ на числовую ось и определим знаки выражения $ (y - 4)(3y + 5) $ на полученных интервалах:

- На интервале $ (-\infty; -5/3) $, возьмём $y = -2$: $ (-2 - 4)(3(-2) + 5) = (-6)(-1) = 6 > 0 $.
- На интервале $ (-5/3; 4) $, возьмём $y = 0$: $ (0 - 4)(3(0) + 5) = (-4)(5) = -20 < 0 $.
- На интервале $ (4; +\infty) $, возьмём $y = 5$: $ (5 - 4)(3(5) + 5) = 1 \cdot 20 = 20 > 0 $.

Поскольку неравенство строгое ($ > 0 $), решением будут интервалы, где выражение положительно, не включая концы.

Ответ: $ y \in (-\infty; -5/3) \cup (4; +\infty) $.

в) Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

$ (t + 4)(9 + t) \ge 0 $

Решаем методом интервалов. Находим корни уравнения $ (t + 4)(9 + t) = 0 $:

$ t + 4 = 0 \implies t = -4 $
$ 9 + t = 0 \implies t = -9 $

Нанесём корни -9 и -4 на числовую ось и определим знаки выражения на интервалах:

- На интервале $ (-\infty; -9) $, возьмём $t = -10$: $ (-10 + 4)(-10 + 9) = (-6)(-1) = 6 > 0 $.
- На интервале $ (-9; -4) $, возьмём $t = -5$: $ (-5 + 4)(-5 + 9) = (-1)(4) = -4 < 0 $.
- На интервале $ (-4; +\infty) $, возьмём $t = 0$: $ (0 + 4)(0 + 9) = 4 \cdot 9 = 36 > 0 $.

Выбираем промежутки, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $ t \in (-\infty; -9] \cup [-4; +\infty) $.

г) В данном выражении квадратный корень находится в знаменателе. Это означает, что подкоренное выражение должно быть строго положительным (не может быть равно нулю).

$ (2z - 1)(-z - 3) > 0 $

Для удобства вынесем знак минус из второй скобки: $ -(2z - 1)(z + 3) > 0 $. Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$ (2z - 1)(z + 3) < 0 $

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $ (2z - 1)(z + 3) = 0 $:

$ 2z - 1 = 0 \implies z = 1/2 $
$ z + 3 = 0 \implies z = -3 $

Нанесём точки -3 и 1/2 на числовую ось и определим знаки выражения $ (2z - 1)(z + 3) $ на интервалах:

- На интервале $ (-\infty; -3) $, возьмём $z = -4$: $ (2(-4) - 1)(-4 + 3) = (-9)(-1) = 9 > 0 $.
- На интервале $ (-3; 1/2) $, возьмём $z = 0$: $ (2(0) - 1)(0 + 3) = (-1)(3) = -3 < 0 $.
- На интервале $ (1/2; +\infty) $, возьмём $z = 1$: $ (2(1) - 1)(1 + 3) = 1 \cdot 4 = 4 > 0 $.

Нам нужен интервал, где выражение $ (2z - 1)(z + 3) $ меньше нуля.

Ответ: $ z \in (-3; 1/2) $.