Номер 1.19, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.19 а) $ |1 - x| > 2; $

б) $ |-2 - x| \le 4; $

В) $ |3 - x| \ge 3; $

Г) $ |-5 - x| < 7. $

Дано неравенство $|1 - x| > 2$.

Неравенство с модулем вида $|A| > B$ (при $B>0$) равносильно совокупности (логическому "ИЛИ") двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.

В нашем случае получаем совокупность:

$1 - x > 2$ или $1 - x < -2$.

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) Решаем $1 - x > 2$:

$-x > 2 - 1$

$-x > 1$

Умножаем на -1 и меняем знак неравенства:

$x < -1$

2) Решаем $1 - x < -2$:

$-x < -2 - 1$

$-x < -3$

Умножаем на -1 и меняем знак неравенства:

$x > 3$

Объединение решений этих двух неравенств ($x < -1$ или $x > 3$) является решением исходного неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

Дано неравенство $|-2 - x| \leq 4$.

Неравенство вида $|A| \leq B$ (при $B \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-B \leq A \leq B$.

В нашем случае получаем:

$-4 \leq -2 - x \leq 4$.

Чтобы выделить $x$, сначала прибавим 2 ко всем частям двойного неравенства:

$-4 + 2 \leq -2 - x + 2 \leq 4 + 2$

$-2 \leq -x \leq 6$.

Теперь умножим все части на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-2) \cdot (-1) \geq (-x) \cdot (-1) \geq 6 \cdot (-1)$

$2 \geq x \geq -6$.

Для удобства записи перепишем неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-6 \leq x \leq 2$.

Ответ: $x \in [-6, 2]$.

Дано неравенство $|3 - x| \geq 3$.

Неравенство вида $|A| \geq B$ (при $B \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $A \geq B$ или $A \leq -B$.

Получаем совокупность:

$3 - x \geq 3$ или $3 - x \leq -3$.

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) Решаем $3 - x \geq 3$:

$-x \geq 3 - 3$

$-x \geq 0$

$x \leq 0$

2) Решаем $3 - x \leq -3$:

$-x \leq -3 - 3$

$-x \leq -6$

$x \geq 6$

Объединяем полученные решения: $x \leq 0$ или $x \geq 6$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [6, \infty)$.

Дано неравенство $|-5 - x| < 7$.

Неравенство вида $|A| < B$ (при $B > 0$) равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.

В нашем случае получаем:

$-7 < -5 - x < 7$.

Прибавим 5 ко всем частям двойного неравенства:

$-7 + 5 < -5 - x + 5 < 7 + 5$

$-2 < -x < 12$.

Теперь умножим все части на -1, меняя знаки неравенства на противоположные:

$(-2) \cdot (-1) > (-x) \cdot (-1) > 12 \cdot (-1)$

$2 > x > -12$.

Запишем это в стандартном виде:

$-12 < x < 2$.

Ответ: $x \in (-12, 2)$.