Номер 1.15, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.15 При каких значениях параметра $p$ квадратное уравнение

$3x^2 - 2px - p + 6 = 0:$

а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней;

г) имеет хотя бы один корень?

Для того чтобы определить количество корней квадратного уравнения $3x^2 - 2px - p + 6 = 0$ в зависимости от параметра $p$, необходимо исследовать знак его дискриминанта $D$.

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$. В данном случае коэффициенты равны:
$a = 3$
$b = -2p$
$c = -p + 6$

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Подставим в нее наши коэффициенты:
$D = (-2p)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-p + 6) = 4p^2 - 12(-p + 6) = 4p^2 + 12p - 72$

Для упрощения анализа вынесем общий множитель за скобки:
$D = 4(p^2 + 3p - 18)$

Знак дискриминанта $D$ полностью определяется знаком выражения в скобках $p^2 + 3p - 18$. Найдем корни этого квадратного трехчлена, решив уравнение $p^2 + 3p - 18 = 0$.
Найдем дискриминант для этого уравнения: $D_p = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.
Корни уравнения для $p$:
$p_1 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 9}{2} = -6$
$p_2 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 9}{2} = 3$

Квадратный трехчлен $p^2 + 3p - 18$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Следовательно:

• Он положителен ($> 0$), когда $p$ находится за пределами корней: $p \in (-\infty; -6) \cup (3; +\infty)$.
• Он равен нулю ($= 0$), когда $p$ совпадает с одним из корней: $p = -6$ или $p = 3$.
• Он отрицателен ($< 0$), когда $p$ находится между корнями: $p \in (-6; 3)$.

а) имеет два различных корня
Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$).
$4(p^2 + 3p - 18) > 0 \implies p^2 + 3p - 18 > 0$.
Это неравенство справедливо для значений $p$ вне интервала между корнями $-6$ и $3$.
Ответ: $p \in (-\infty; -6) \cup (3; +\infty)$.

б) имеет один корень
Уравнение имеет ровно один действительный корень (или два совпадающих корня), когда его дискриминант равен нулю ($D = 0$).
$4(p^2 + 3p - 18) = 0 \implies p^2 + 3p - 18 = 0$.
Это равенство достигается, когда $p$ равен одному из найденных корней.
Ответ: $p = -6; p = 3$.

в) не имеет корней
Уравнение не имеет действительных корней, когда его дискриминант меньше нуля ($D < 0$).
$4(p^2 + 3p - 18) < 0 \implies p^2 + 3p - 18 < 0$.
Это неравенство справедливо для значений $p$ между корнями $-6$ и $3$.
Ответ: $p \in (-6; 3)$.

г) имеет хотя бы один корень
Уравнение имеет хотя бы один корень, если оно имеет один или два корня. Это условие выполняется, когда дискриминант неотрицателен ($D \ge 0$).
$4(p^2 + 3p - 18) \ge 0 \implies p^2 + 3p - 18 \ge 0$.
Это условие является объединением случаев а) и б).
Ответ: $p \in (-\infty; -6] \cup [3; +\infty)$.