Номер 1.12, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.12 a) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 18x + 77}}$;

б) $\sqrt{(10x^2 - 11x - 6)^{-1}}$;

В) $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9x - 36}}$;

Г) $\sqrt{(12x^2 + 13x - 4)^{-1}}$.

а)

Данное выражение $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 18x + 77}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля. Это необходимо, так как извлекать квадратный корень можно только из неотрицательного числа, а делить на ноль нельзя. Следовательно, мы должны решить неравенство:

$x^2 - 18x + 77 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 18x + 77 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 77 = 324 - 308 = 16$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-18) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 4}{2} = 7$ и $x_2 = \frac{-(-18) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 4}{2} = 11$.

Графиком функции $y = x^2 - 18x + 77$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, квадратный трехчлен принимает положительные значения при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; 7) \cup (11; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 7) \cup (11; \infty)$.

б)

Преобразуем выражение $\sqrt{(10x^2 - 11x - 6)^{-1}}$, используя свойство степени с отрицательным показателем $(a^{-1} = 1/a)$:

$\sqrt{(10x^2 - 11x - 6)^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{10x^2 - 11x - 6}} = \frac{1}{\sqrt{10x^2 - 11x - 6}}$

Область определения этого выражения задается условием, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

$10x^2 - 11x - 6 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $10x^2 - 11x - 6 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-6) = 121 + 240 = 361$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-11) - \sqrt{361}}{2 \cdot 10} = \frac{11 - 19}{20} = -\frac{8}{20} = -\frac{2}{5}$ и $x_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{361}}{2 \cdot 10} = \frac{11 + 19}{20} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}$.

Графиком функции $y = 10x^2 - 11x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=10 > 0$). Значит, неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2/5) \cup (3/2; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2/5) \cup (3/2; \infty)$.

в)

Выражение $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9x - 36}}$ определено, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля.

$x^2 + 9x - 36 > 0$

Решим квадратное уравнение $x^2 + 9x - 36 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-9 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 15}{2} = -12$ и $x_2 = \frac{-9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 15}{2} = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 + 9x - 36$ направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому квадратный трехчлен положителен при $x$ за пределами корней.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -12) \cup (3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -12) \cup (3; \infty)$.

г)

Преобразуем выражение $\sqrt{(12x^2 + 13x - 4)^{-1}}$:

$\sqrt{(12x^2 + 13x - 4)^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{12x^2 + 13x - 4}} = \frac{1}{\sqrt{12x^2 + 13x - 4}}$

Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение в знаменателе строго положительно:

$12x^2 + 13x - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $12x^2 + 13x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-4) = 169 + 192 = 361$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-13 - \sqrt{361}}{2 \cdot 12} = \frac{-13 - 19}{24} = -\frac{32}{24} = -\frac{4}{3}$ и $x_2 = \frac{-13 + \sqrt{361}}{2 \cdot 12} = \frac{-13 + 19}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

Ветви параболы $y = 12x^2 + 13x - 4$ направлены вверх ($a=12 > 0$), поэтому неравенство выполняется при $x$ вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -4/3) \cup (1/4; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4/3) \cup (1/4; \infty)$.