Номер 1.5, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.5 a) $x^2 - 6x - 7 \ge 0$;

Б) $-x^2 - 2x + 8 > 0$;

В) $-x^2 + 6x - 5 < 0$;

Г) $x^2 + 2x - 48 \le 0$.

а) $x^2 - 6x - 7 \ge 0$

Для решения данного квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, его можно решить с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = 7$

Корни уравнения разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 7)$ и $(7; +\infty)$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках -1 и 7.

Неравенство $x^2 - 6x - 7 \ge 0$ выполняется там, где парабола находится выше или на оси абсцисс. Это происходит на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решением является объединение промежутков $x \le -1$ и $x \ge 7$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [7; +\infty)$.

б) $-x^2 - 2x + 8 > 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 2x - 8 < 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$, чтобы найти его корни.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 8$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$), пересекающая ось Ox в точках -4 и 2.

Неравенство $x^2 + 2x - 8 < 0$ выполняется там, где парабола находится строго ниже оси абсцисс. Это происходит на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-4 < x < 2$.

Ответ: $x \in (-4; 2)$.

в) $-x^2 + 6x - 5 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и сменим знак неравенства:

$x^2 - 6x + 5 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 5$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Можно также найти корни через дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$, откуда $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Парабола $y = x^2 - 6x + 5$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$), и пересекает ось Ox в точках 1 и 5.

Неравенство $x^2 - 6x + 5 > 0$ выполняется, когда график функции находится строго выше оси абсцисс, то есть на промежутках вне корней.

Следовательно, решение неравенства: $x < 1$ или $x > 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.

г) $x^2 + 2x - 48 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 14}{2} = -8$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 14}{2} = 6$

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 48$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$), пересекающая ось Ox в точках -8 и 6.

Неравенство $x^2 + 2x - 48 \le 0$ выполняется там, где парабола находится ниже или на оси абсцисс. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $-8 \le x \le 6$.

Ответ: $x \in [-8; 6]$.