Номер 4, страница 221, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Классические вероятностные игры: бросания монеты, кубика.

Классические вероятностные игры являются прекрасными примерами для иллюстрации основ теории вероятностей. В их основе лежит так называемое классическое определение вероятности, которое применимо, когда все элементарные исходы эксперимента равновозможны. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где $n$ — общее число всех равновозможных, несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, а $m$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию $A$.

Бросание монеты

Бросание монеты — это простейший вероятностный эксперимент. Предполагается, что монета "идеальная" или "симметричная", что означает, что выпадение каждой из двух сторон равновероятно.

Один бросок:

При одном броске монеты есть два возможных элементарных исхода: выпадение орла (О) или решки (Р). Таким образом, общее число исходов $n=2$.

• Событие A: "выпал орёл". Число благоприятствующих исходов $m=1$. Вероятность этого события: $P(A) = \frac{1}{2} = 0.5$.
• Событие B: "выпала решка". Число благоприятствующих исходов $m=1$. Вероятность этого события: $P(B) = \frac{1}{2} = 0.5$.

Два броска:

При двух бросках монеты исходы одного броска не зависят от другого. Общее число всех возможных исходов можно найти, перечислив их все: (О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р). Всего $n=4$ равновозможных исхода.

• Событие C: "выпало два орла". Благоприятствующий исход только один: (О, О). Значит, $m=1$. Вероятность: $P(C) = \frac{1}{4}$.
• Событие D: "выпал хотя бы один орёл". Благоприятствующие исходы: (О, О), (О, Р), (Р, О). Всего $m=3$. Вероятность: $P(D) = \frac{3}{4}$.
• Событие E: "выпал ровно один орёл". Благоприятствующие исходы: (О, Р), (Р, О). Всего $m=2$. Вероятность: $P(E) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Для $k$ бросков монеты общее число исходов будет $n=2^k$.

Ответ: При бросании идеальной монеты вероятность выпадения орла или решки равна $\frac{1}{2}$. При нескольких бросках общее число исходов равно $2^k$, где $k$ — количество бросков. Вероятность конкретного события находится как отношение числа благоприятных комбинаций к общему числу исходов.

Бросание кубика

Бросание игрального кубика (кости) — еще один классический пример. Стандартный кубик имеет 6 граней, пронумерованных от 1 до 6. Предполагается, что кубик "правильный", то есть выпадение любой грани равновероятно.

Один бросок:

При одном броске кубика существует 6 возможных элементарных исходов: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Общее число исходов $n=6$.

• Событие F: "выпало число 4". Благоприятствующий исход один. Вероятность: $P(F) = \frac{1}{6}$.
• Событие G: "выпало чётное число". Благоприятствующие исходы: {2, 4, 6}. Всего $m=3$. Вероятность: $P(G) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
• Событие H: "выпало число, большее 4". Благоприятствующие исходы: {5, 6}. Всего $m=2$. Вероятность: $P(H) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Два броска (или бросок двух кубиков):

Когда бросают два кубика, каждый из них может выпасть одной из шести граней независимо от другого. Общее число равновозможных элементарных исходов равно $n = 6 \times 6 = 36$. Исходы представляют собой упорядоченные пары чисел, например, (1, 1), (1, 2), ..., (6, 6).

• Событие J: "сумма выпавших очков равна 7". Благоприятствующие исходы: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Всего $m=6$. Вероятность: $P(J) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
• Событие K: "на обоих кубиках выпало одинаковое число очков (дубль)". Благоприятствующие исходы: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6). Всего $m=6$. Вероятность: $P(K) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
• Событие L: "сумма выпавших очков меньше 4". Благоприятствующие исходы: (1, 1) [сумма 2], (1, 2), (2, 1) [сумма 3]. Всего $m=3$. Вероятность: $P(L) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

Ответ: При бросании одного правильного кубика вероятность выпадения любой грани равна $\frac{1}{6}$. При бросании двух кубиков общее число исходов равно 36. Вероятность события вычисляется путем подсчета количества пар чисел, удовлетворяющих условию, и деления этого количества на 36.