Номер 3, страница 221, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Факториалы и их свойства. Уравнения и неравенства с факториалами.

Факториалы и их свойства

Факториал натурального числа $n$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно. Обозначается как $n!$.

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n-1) \cdot n$

Факториал определен для всех целых неотрицательных чисел. По определению, факториал нуля равен единице:

$0! = 1$

Это соглашение позволяет упростить многие математические формулы, например, в комбинаторике. Оно также следует из рекуррентного свойства факториала.

Примеры значений:

• $1! = 1$
• $2! = 1 \cdot 2 = 2$
• $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
• $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
• $5! = 4! \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120$

Основные свойства факториала:

1. Рекуррентное свойство. Это самое важное свойство, используемое для упрощения выражений. Факториал любого числа $n > 0$ можно выразить через факториал предыдущего числа:
   $n! = n \cdot (n-1)!$
   Например: $7! = 7 \cdot 6! = 7 \cdot 6 \cdot 5!$
2. Область определения. Выражение $n!$ определено только для целых неотрицательных чисел $n$ (т.е. $n \in \{0, 1, 2, 3, \dots\}$). Это ключевое условие при решении уравнений и неравенств.
3. Быстрый рост. Функция $y = n!$ растет очень быстро, быстрее любой показательной функции $a^n$.
4. Делимость. Число $n!$ делится без остатка на все целые числа от 1 до $n$.

Пример упрощения выражения:

Вычислить $\frac{12!}{10! \cdot 3!}$.
$\frac{12!}{10! \cdot 3!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{10! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{12 \cdot 11}{6} = 2 \cdot 11 = 22$.

Уравнения и неравенства с факториалами

Основной метод решения уравнений и неравенств с факториалами — это использование рекуррентного свойства $n! = n \cdot (n-1)!$ для упрощения выражений. Все факториалы в выражении приводятся к наименьшему из них. Важнейшим шагом является нахождение области допустимых значений (ОДЗ).

Пример 1: Уравнение

Решить уравнение $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} = 30$.

Решение:

1. Находим ОДЗ. Выражения под знаком факториала должны быть целыми и неотрицательными:
$x+1 \geq 0 \implies x \geq -1$
$x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$
Так как $x$ должен быть целым, ОДЗ: $x \in \{1, 2, 3, \dots\}$.

2. Упрощаем левую часть. Используем рекуррентное свойство, чтобы привести числитель к знаменателю:
$(x+1)! = (x+1) \cdot x \cdot (x-1)!$
Подставляем в уравнение:
$\frac{(x+1) \cdot x \cdot (x-1)!}{(x-1)!} = 30$

3. Сокращаем и решаем. Так как $(x-1)! \neq 0$ в ОДЗ, можем сократить:
$(x+1)x = 30$
$x^2 + x - 30 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.

4. Проверяем корни по ОДЗ.
$x_1 = 5$ удовлетворяет условию $x \geq 1$.
$x_2 = -6$ не удовлетворяет условию $x \geq 1$.

Ответ: $x = 5$

Пример 2: Неравенство

Решить неравенство $\frac{(m-2)!}{(m-4)!} \leq 12$.

Решение:

1. Находим ОДЗ.
$m-2 \geq 0 \implies m \geq 2$
$m-4 \geq 0 \implies m \geq 4$
Так как $m$ должен быть целым, ОДЗ: $m \in \{4, 5, 6, \dots\}$.

2. Упрощаем левую часть.
$(m-2)! = (m-2)(m-3)(m-4)!$
$\frac{(m-2)(m-3)(m-4)!}{(m-4)!} \leq 12$

3. Сокращаем и решаем.
$(m-2)(m-3) \leq 12$
$m^2 - 5m + 6 \leq 12$
$m^2 - 5m - 6 \leq 0$
Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $m^2 - 5m - 6 = 0$. Корни: $m_1 = 6$ и $m_2 = -1$.
Парабола $y = m^2 - 5m - 6$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $-1 \leq m \leq 6$.

4. Объединяем с ОДЗ.
Нам нужны целые значения $m$, которые удовлетворяют двум условиям: $m \geq 4$ и $-1 \leq m \leq 6$.
Пересечением этих двух множеств являются целые числа $\{4, 5, 6\}$.

Ответ: $m \in \{4, 5, 6\}$