Номер 2, страница 221, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Рисуем деревья вариантов.

Дерево вариантов — это графический способ представления всех возможных исходов какого-либо события, состоящего из нескольких шагов. Этот метод помогает наглядно увидеть и подсчитать общее количество комбинаций.

Корень дерева символизирует начало процесса. От корня отходят ветви, соответствующие возможным вариантам на первом шаге. От каждой из этих ветвей, в свою очередь, отходят новые ветви, представляющие варианты на втором шаге, и так далее. Конечные точки ветвей (листья) представляют собой все возможные итоговые комбинации.

Рассмотрим, как это работает на примерах.

а) В школьной столовой на обед можно выбрать одно из двух первых блюд (суп или борщ) и одно из трех вторых блюд (каша, плов или макароны). Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно составить?

Для решения этой задачи построим дерево вариантов.

1. Первый шаг — выбор первого блюда. У нас есть 2 варианта: суп или борщ. Это будут две основные ветви нашего дерева.
2. Второй шаг — выбор второго блюда. Для каждого из первых блюд есть 3 варианта второго. От каждой из двух основных ветвей проведем по три новые ветви.

Схематично дерево вариантов будет выглядеть так:

• Обед
  • Суп
    • Каша (вариант 1)
    • Плов (вариант 2)
    • Макароны (вариант 3)
  • Борщ
    • Каша (вариант 4)
    • Плов (вариант 5)
    • Макароны (вариант 6)

Посчитав количество "листьев" дерева (конечных вариантов), мы получим общее число возможных обедов. Также можно использовать правило умножения в комбинаторике: если первый элемент можно выбрать $n_1$ способами, а второй — $n_2$ способами, то общее число комбинаций равно $N = n_1 \times n_2$.

В нашем случае $n_1 = 2$ (вида первого блюда) и $n_2 = 3$ (вида второго блюда).

Общее количество вариантов: $2 \times 3 = 6$.

Ответ: 6 вариантов обеда.

б) Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 5, 8, 3 при условии, что цифры в числе не должны повторяться?

Построим дерево вариантов для этой задачи.

1. Первый шаг — выбор первой цифры числа. У нас есть 3 варианта: 5, 8 или 3.
2. Второй шаг — выбор второй цифры. Так как цифры не могут повторяться, для каждого варианта первой цифры у нас останется только два возможных варианта для второй. Например, если первая цифра 5, то вторая может быть 8 или 3.
3. Третий шаг — выбор третьей цифры. После выбора первых двух цифр у нас остается только одна неиспользованная цифра.

Изобразим это в виде дерева:

• Начало
  • Первая цифра 5
    • Вторая цифра 8
      • Третья цифра 3 (Число: 583)
    • Вторая цифра 3
      • Третья цифра 8 (Число: 538)
  • Первая цифра 8
    • Вторая цифра 5
      • Третья цифра 3 (Число: 853)
    • Вторая цифра 3
      • Третья цифра 5 (Число: 835)
  • Первая цифра 3
    • Вторая цифра 5
      • Третья цифра 8 (Число: 358)
    • Вторая цифра 8
      • Третья цифра 5 (Число: 385)

Подсчет количества конечных вариантов ("листьев") дает нам общее число возможных трехзначных чисел. Их 6.

По правилу умножения: на место первой цифры можно поставить любую из 3 цифр, на место второй — любую из 2 оставшихся, на место третьей — 1 оставшуюся цифру.

Количество комбинаций: $3 \times 2 \times 1 = 6$. Это также соответствует формуле перестановок без повторений из 3 элементов: $P_3 = 3! = 6$.

Ответ: 6 чисел.