Номер 1, страница 221, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Многогранное правило умножения.

Многогранное правило умножения, также известное как правило произведения в комбинаторике, является фундаментальным принципом для подсчета общего количества исходов некоторого составного действия. Оно гласит, что общее число способов выполнить последовательность действий равно произведению числа способов выполнения каждого отдельного действия.

Формулировка правила:
Пусть требуется выполнить последовательно $k$ действий. Если первое действие можно выполнить $n_1$ способами, после чего второе действие можно выполнить $n_2$ способами, затем третье — $n_3$ способами, и так далее до $k$-го действия, которое можно выполнить $n_k$ способами, то все $k$ действий вместе можно выполнить $N$ способами, где $N$ вычисляется по формуле:

$N = n_1 \times n_2 \times n_3 \times \dots \times n_k$

Это правило справедливо, когда количество способов выполнения каждого следующего действия не зависит от того, как именно были выполнены предыдущие действия.

Пример 1.
В меню кафе есть 4 вида супов, 7 вторых блюд и 3 вида напитков. Сколько различных вариантов обеда из трех блюд (суп, второе и напиток) можно заказать?

Решение.
Разобьем выбор обеда на три последовательных действия:
- Шаг 1: Выбор супа. Есть $n_1 = 4$ способа.
- Шаг 2: Выбор второго блюда. Есть $n_2 = 7$ способов.
- Шаг 3: Выбор напитка. Есть $n_3 = 3$ способа.
Общее количество вариантов обеда находим по правилу умножения:
$N = n_1 \times n_2 \times n_3 = 4 \times 7 \times 3 = 84$.
Ответ: 84 варианта.

Пример 2.
Сколько существует различных автомобильных номеров, состоящих из 3 букв и 3 цифр, если используются 12 букв русского алфавита (А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х) и 10 цифр (от 0 до 9)? Буквы и цифры могут повторяться.

Решение.
Формирование номера состоит из 6 последовательных действий (3 для букв и 3 для цифр):
- Выбор первой буквы: есть $n_1 = 12$ способов.
- Выбор второй буквы: есть $n_2 = 12$ способов (повторения разрешены).
- Выбор третьей буквы: есть $n_3 = 12$ способов.
- Выбор первой цифры: есть $n_4 = 10$ способов.
- Выбор второй цифры: есть $n_5 = 10$ способов.
- Выбор третьей цифры: есть $n_6 = 10$ способов.
Общее количество возможных номеров равно:
$N = n_1 \times n_2 \times n_3 \times n_4 \times n_5 \times n_6 = 12 \times 12 \times 12 \times 10 \times 10 \times 10 = 12^3 \times 10^3 = 1728 \times 1000 = 1728000$.
Ответ: 1 728 000 номеров.