Номер 14, страница 214, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14. На отрезке $[0; 5]$ наугад выбирают точку. Какова вероятность того, что она окажется ближе к числу 3, чем к числу 1?

Эта задача решается с помощью методов геометрической вероятности. Вероятность события в данном случае определяется как отношение длины отрезка, соответствующего благоприятным исходам, к длине всего отрезка, на котором выбирается точка.

Пусть $x$ — это координата точки, случайно выбранной на отрезке $[0; 5]$.

1. Определение общего пространства исходов.
Точка выбирается на отрезке $[0; 5]$. Длина этого отрезка является мерой всего пространства возможных исходов. $L_{общ} = 5 - 0 = 5$.

2. Определение благоприятных исходов.
Событие, вероятность которого мы ищем, заключается в том, что выбранная точка $x$ находится ближе к числу 3, чем к числу 1. Расстояние между двумя точками на числовой прямой $a$ и $b$ равно $|a - b|$. Таким образом, условие можно записать в виде неравенства:

$|x - 3| < |x - 1|$

Чтобы найти все значения $x$, удовлетворяющие этому условию, найдем точку, которая равноудалена от 1 и 3. Это середина отрезка, соединяющего точки 1 и 3:

$x_0 = \frac{1 + 3}{2} = 2$

Любая точка $x$, для которой $x > 2$, будет ближе к 3, чем к 1. Любая точка, для которой $x < 2$, будет ближе к 1, чем к 3. Следовательно, искомое множество точек удовлетворяет условию $x > 2$.

3. Определение отрезка благоприятных исходов.
Нам нужно найти точки, которые принадлежат исходному отрезку $[0; 5]$ и одновременно удовлетворяют условию $x > 2$. Пересечением множеств $[0; 5]$ и $(2; +\infty)$ является интервал $(2; 5]$.

Длина этого отрезка благоприятных исходов равна: $L_{бл} = 5 - 2 = 3$.

4. Вычисление вероятности.
Вероятность $P$ равна отношению длины благоприятного отрезка к длине общего отрезка:

$P = \frac{L_{бл}}{L_{общ}} = \frac{3}{5} = 0.6$

Ответ: $0.6$