Страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Монету подбрасывают два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет орёл?

1.

Для решения данной задачи по теории вероятностей необходимо определить общее количество всех равновозможных исходов и количество исходов, которые являются благоприятными для интересующего нас события.

Эксперимент заключается в двукратном подбрасывании монеты. У каждого броска есть два возможных исхода: орёл (О) или решка (Р).

Перечислим все возможные уникальные комбинации исходов для двух бросков:

• Первый бросок — орёл, второй бросок — орёл (О, О)
• Первый бросок — орёл, второй бросок — решка (О, Р)
• Первый бросок — решка, второй бросок — орёл (Р, О)
• Первый бросок — решка, второй бросок — решка (Р, Р)

Таким образом, общее число всех равновероятных исходов испытания равно 4. В классической формуле вероятности это значение обозначается как $n$. Итак, $n = 4$.

Нас интересует событие $A$, которое заключается в том, что "оба раза выпадет орёл". Из всех перечисленных комбинаций этому условию удовлетворяет только одна: (О, О).

Следовательно, число благоприятствующих событию $A$ исходов равно 1. Это значение обозначается как $m$. Итак, $m = 1$.

Вероятность события $A$ находится по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{m}{n}$

Подставляя найденные значения в формулу, получаем: $P(A) = \frac{1}{4}$

Результат можно представить в виде десятичной дроби: $1 \div 4 = 0.25$.

Также можно решить задачу, используя теорему об умножении вероятностей для независимых событий. Броски монеты являются независимыми друг от друга. Вероятность выпадения орла в одном броске равна $\frac{1}{2}$. Вероятность того, что орёл выпадет два раза подряд, равна произведению вероятностей этих двух событий: $P(A) = P(\text{орёл в 1-м броске}) \times P(\text{орёл во 2-м броске}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25$.

Ответ: $0.25$

2. Монету подбрасывают два раза. Какова вероятность того, что результаты будут разными?

Для решения этой задачи по теории вероятностей нужно определить общее количество возможных исходов и количество исходов, которые удовлетворяют условию задачи (благоприятных исходов).

При каждом подбрасывании монеты есть два равновероятных исхода: "Орел" (О) или "Решка" (Р).

Поскольку монету подбрасывают два раза, общее количество всех возможных элементарных исходов ($n$) можно найти, перечислив все комбинации. Всего существует $2 \times 2 = 4$ возможных исхода:

1. Орел, Орел (ОО)
2. Орел, Решка (ОР)
3. Решка, Орел (РО)
4. Решка, Решка (РР)

Нас интересует событие, при котором результаты подбрасываний будут разными. Этому условию соответствуют два исхода: "Орел, Решка" (ОР) и "Решка, Орел" (РО). Следовательно, количество благоприятных исходов ($m$) равно 2.

Вероятность события ($P$) вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P = \frac{m}{n}$

Подставив наши значения, получим: $P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: 0,5

3. Монету подбрасывают три раза. Нарисуйте дерево вариантов.

Какова вероятность того, что в первый и во второй раз результаты будут одинаковыми?

Нарисуйте дерево вариантов.

Для решения задачи представим все возможные исходы трёх последовательных подбрасываний монеты в виде дерева. Обозначим выпадение орла буквой «О», а решки — буквой «Р». При каждом броске есть два возможных исхода.

• Начальная точка
  • 1-й бросок: О (Орёл)
    • 2-й бросок: О (Орёл)
      • 3-й бросок: О (Орёл) → Итоговая комбинация: ООО
      • 3-й бросок: Р (Решка) → Итоговая комбинация: ООР
    • 2-й бросок: Р (Решка)
      • 3-й бросок: О (Орёл) → Итоговая комбинация: ОРО
      • 3-й бросок: Р (Решка) → Итоговая комбинация: ОРР
  • 1-й бросок: Р (Решка)
    • 2-й бросок: О (Орёл)
      • 3-й бросок: О (Орёл) → Итоговая комбинация: РОО
      • 3-й бросок: Р (Решка) → Итоговая комбинация: РОР
    • 2-й бросок: Р (Решка)
      • 3-й бросок: О (Орёл) → Итоговая комбинация: РРО
      • 3-й бросок: Р (Решка) → Итоговая комбинация: РРР

Это дерево показывает все $2 \times 2 \times 2 = 8$ возможных исходов.

Ответ: Дерево вариантов представлено на схеме выше.

Какова вероятность того, что в первый и во второй раз результаты будут одинаковыми?

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Из дерева вариантов видно, что общее число всех возможных исходов при трёх бросках монеты составляет $n=8$.

Событие $A$ — «в первый и во второй раз результаты будут одинаковыми». Это означает, что нас интересуют комбинации, которые начинаются с «ОО» или «РР».

Найдём благоприятствующие исходы, перечислив их из дерева вариантов:

1. Первый и второй броски — орлы (ОО): ООО, ООР.
2. Первый и второй броски — решки (РР): РРО, РРР.

Всего исходов, удовлетворяющих условию, 4. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=4$.

Теперь вычислим искомую вероятность:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: 0.5

4. Игральный кубик бросают дважды. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 1? 13?

Для решения задачи сначала определим общее количество возможных исходов. При каждом броске стандартного шестигранного кубика может выпасть одно из 6 чисел (от 1 до 6). Поскольку кубик бросают дважды, и результаты бросков независимы, общее число равноправных исходов $n$ равно произведению числа исходов для каждого броска:

$n = 6 \times 6 = 36$

Вероятность любого события $A$ вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — это число исходов, благоприятствующих событию $A$, а $n$ — общее число всех возможных исходов.

1

Рассмотрим событие, при котором сумма выпавших очков равна 1. Минимальное значение, которое может выпасть на одном кубике, — это 1. Соответственно, минимально возможная сумма очков при двух бросках — это $1 + 1 = 2$. Получить в сумме 1 невозможно. Такое событие является невозможным. Число благоприятствующих исходов для этого события $m = 0$.

Следовательно, вероятность того, что сумма очков равна 1, составляет:

$P(\text{сумма} = 1) = \frac{0}{36} = 0$

Ответ: 0.

13

Рассмотрим событие, при котором сумма выпавших очков равна 13. Максимальное значение, которое может выпасть на одном кубике, — это 6. Соответственно, максимально возможная сумма очков при двух бросках — это $6 + 6 = 12$. Получить в сумме 13 невозможно. Это событие также является невозможным. Число благоприятствующих исходов для этого события $m = 0$.

Следовательно, вероятность того, что сумма очков равна 13, составляет:

$P(\text{сумма} = 13) = \frac{0}{36} = 0$

Ответ: 0.

5. Игральный кубик бросают дважды. Какова вероятность того, что произведение выпавших очков меньше $40$? больше $0,9$?

меньше 40?

Для решения задачи определим общее число исходов и число благоприятных исходов. При броске одного игрального кубика может выпасть одно из шести чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поскольку кубик бросают дважды, общее число всех возможных равновероятных исходов $N$ равно произведению числа исходов для каждого броска: $N = 6 \times 6 = 36$.

Нас интересует событие $A$, состоящее в том, что произведение выпавших очков меньше 40. Пусть $x_1$ — число очков при первом броске, а $x_2$ — при втором. Нам нужно найти количество пар $(x_1, x_2)$, для которых выполняется условие $x_1 \times x_2 < 40$.

Найдем максимальное возможное произведение очков. Максимальное значение, которое может выпасть на каждом кубике, — это 6. Следовательно, максимальное возможное произведение составляет $6 \times 6 = 36$. Так как $36 < 40$, то произведение очков при любых двух бросках всегда будет меньше 40. Это означает, что данное событие является достоверным, и все 36 возможных исходов являются благоприятными. Число благоприятных исходов $M = 36$.

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{M}{N} = \frac{36}{36} = 1$.
Ответ: 1.

больше 0,9?

Этот вопрос относится к вероятности, вычисленной в предыдущем пункте. Необходимо сравнить полученное значение вероятности $P(A) = 1$ с числом 0,9.

Сравниваем два числа: $1$ и $0,9$. Очевидно, что $1 > 0,9$. Следовательно, вероятность того, что произведение выпавших очков меньше 40, действительно больше 0,9.
Ответ: да.

6. Объясните, почему вероятность достоверного события всегда равна 1.

Вероятность события определяется как мера возможности его наступления. Чтобы понять, почему вероятность достоверного события равна 1, рассмотрим два основных подхода: классическое определение вероятности и аксиоматический подход.

1. Классическое определение вероятности

Согласно классическому определению, вероятность события $A$ вычисляется по формуле:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где:

• $n$ – общее число всех равновозможных, элементарных исходов эксперимента.
• $m$ – число элементарных исходов, благоприятствующих событию $A$.

Достоверное событие – это такое событие, которое в результате данного эксперимента произойдет со 100% гарантией. Это означает, что любой возможный исход эксперимента является благоприятствующим для этого события.

Следовательно, для достоверного события число благоприятствующих исходов $m$ всегда равно общему числу возможных исходов $n$.

Подставив $m = n$ в формулу вероятности, мы получаем:

$P(\text{достоверное событие}) = \frac{n}{n} = 1$

Пример: При подбрасывании игрального кубика событие "выпадет число очков от 1 до 6" является достоверным. Общее число исходов $n=6$ (могут выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6). Число благоприятствующих исходов $m$ также равно 6, так как любое выпавшее число удовлетворяет условию. Вероятность этого события: $P = \frac{6}{6} = 1$.

2. Аксиоматический подход

В современной теории вероятностей, основанной на аксиомах Колмогорова, вероятность определяется как функция, удовлетворяющая трем аксиомам. Одна из этих аксиом (аксиома нормировки) прямо утверждает, что вероятность достоверного события (обозначаемого как $\Omega$ – пространство всех элементарных исходов) равна единице.

$P(\Omega) = 1$

Таким образом, в рамках этой строгой математической теории данное свойство является не следствием, а одним из фундаментальных положений, на которых строится вся теория.

Оба подхода приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Вероятность достоверного события равна 1, потому что такое событие включает в себя абсолютно все возможные исходы эксперимента. В рамках классического определения это означает, что число благоприятствующих исходов равно общему числу исходов, и их отношение ($m/n$) всегда равно единице.

7. Объясните, почему вероятность невозможного события всегда равна $0$.

Вероятность события определяется как отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу всех равновозможных исходов. Это выражается классической формулой вероятности:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где $P(A)$ — вероятность события A, $m$ — число исходов, благоприятствующих наступлению события A, а $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов.

Невозможным событием называется такое событие, которое в рамках данного эксперимента не может произойти ни при каких обстоятельствах. Это означает, что среди всех возможных исходов эксперимента ($n$) нет ни одного, который бы приводил к наступлению этого события (являлся бы благоприятствующим).

Следовательно, для невозможного события число благоприятствующих ему исходов $m$ всегда равно нулю. То есть, $m = 0$.

Если подставить это значение в формулу вероятности, мы получим:

$P(\text{невозможное событие}) = \frac{0}{n} = 0$

Это равенство справедливо, поскольку общее число исходов $n$ по определению должно быть больше нуля (иначе сам эксперимент и подсчёт вероятности не имеют смысла). Деление нуля на любое положительное число всегда даёт в результате ноль.

Пример: При броске стандартного шестигранного игрального кубика событие «выпадение числа 7» является невозможным. Общее число всех возможных исходов $n = 6$ (могут выпасть числа 1, 2, 3, 4, 5, 6). Число исходов, при которых выпадает 7, равно $m = 0$. Вероятность этого невозможного события составляет: $P(\text{выпало 7}) = \frac{0}{6} = 0$.

Ответ: Вероятность невозможного события всегда равна 0, потому что для него не существует благоприятствующих исходов. В классической формуле вероятности $P(A) = \frac{m}{n}$ для невозможного события числитель $m$ (число благоприятных исходов) равен 0. Деление нуля на любое положительное общее число исходов $n$ всегда даёт в результате 0.

8. Из скольких основных шагов состоит классическая вероятностная схема?

Классическая вероятностная схема, также известная как классическое определение вероятности, представляет собой алгоритм для нахождения вероятности случайного события при условии, что все элементарные исходы эксперимента равновозможны. Этот алгоритм состоит из трех основных шагов.

Шаг 1. Построение математической модели эксперимента
На этом этапе необходимо формализовать условия задачи. Это включает в себя определение пространства элементарных исходов $Ω$ — множества всех возможных взаимоисключающих результатов эксперимента. Ключевыми требованиями классической схемы являются:
- Конечность: общее число исходов должно быть конечным.
- Несовместность: появление одного исхода должно исключать одновременное появление другого.
- Равновозможность: все исходы должны быть одинаково вероятными (нет оснований полагать, что какой-либо исход более вероятен, чем другие).
Например, при однократном броске стандартного игрального кубика пространство элементарных исходов $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Шаг 2. Подсчет числа исходов
На втором шаге выполняются подсчеты, часто с использованием методов комбинаторики. Необходимо определить:
- Общее число всех элементарных исходов, $n$. Это количество всех элементов в множестве $Ω$, то есть $n = |Ω|$. Для примера с кубиком $n = 6$.
- Число исходов, благоприятствующих событию $A$, вероятность которого нужно найти. Благоприятствующие исходы — это те элементарные исходы, при которых событие $A$ наступает. Их количество обозначается как $m$, где $m = |A|$ и $A$ является подмножеством $Ω$. Например, если событие $A$ — «выпало четное число очков», то благоприятствующими исходами будут $\{2, 4, 6\}$, и их число $m = 3$.

Шаг 3. Вычисление вероятности
На заключительном этапе вероятность события $A$ вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу элементарных исходов:
$P(A) = \frac{m}{n}$
Для нашего примера вероятность выпадения четного числа очков составит $P(A) = \frac{3}{6} = 0.5$.

Ответ: Классическая вероятностная схема состоит из трех основных шагов: 1) построение математической модели эксперимента (определение пространства равновозможных элементарных исходов); 2) подсчет общего числа исходов ($n$) и числа исходов, благоприятствующих событию ($m$); 3) вычисление вероятности по формуле $P(A) = m/n$.

9. Почему вероятность любого события не может быть больше чем 1?

Вероятность любого события не может быть больше 1, что напрямую следует из её математического определения. Существует несколько способов это объяснить.

1. Классическое определение вероятности

Согласно классическому определению, вероятность события A вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию (обозначим его m), к общему числу всех равновозможных элементарных исходов испытания (обозначим его n).

Математически это выражается формулой:

$P(A) = \frac{m}{n}$

В этой формуле:

• m – это количество "успешных" или "нужных нам" результатов.
• n – это общее количество всех возможных результатов эксперимента.

Ключевой момент заключается в том, что число благоприятствующих исходов m является частью (подмножеством) общего числа исходов n. Следовательно, m не может быть больше, чем n. В предельном случае, когда событие является достоверным (т.е. оно гарантированно произойдет), все возможные исходы являются благоприятствующими, и тогда $m = n$.

Например, при подбрасывании игральной кости с 6 гранями (исходы 1, 2, 3, 4, 5, 6), общее число исходов $n=6$.

• Событие "выпало число 7" является невозможным. Здесь $m=0$, и вероятность $P = \frac{0}{6} = 0$.
• Событие "выпало чётное число" (2, 4, 6) имеет $m=3$ благоприятных исхода. Вероятность $P = \frac{3}{6} = 0.5$.
• Событие "выпало число меньше 7" является достоверным. Здесь все 6 исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6) являются благоприятными, т.е. $m=6$. Вероятность $P = \frac{6}{6} = 1$.

Как видно из примеров, число m никогда не может превысить n. Таким образом, всегда справедливо неравенство:

$0 \le m \le n$

Если разделить все части этого неравенства на положительное число n, получим:

$\frac{0}{n} \le \frac{m}{n} \le \frac{n}{n}$

Что приводит нас к фундаментальному свойству вероятности:

$0 \le P(A) \le 1$

Это математически доказывает, что вероятность любого события находится в пределах от 0 до 1 включительно.

2. Аксиоматическое определение вероятности

В более строгой, современной теории вероятностей, основанной на аксиомах Колмогорова, это свойство также является фундаментальным. Одна из аксиом постулирует, что вероятность всего пространства элементарных событий $\Omega$ (т.е. достоверного события, которое включает все возможные исходы) равна 1:

$P(\Omega) = 1$

Любое другое событие A является подмножеством этого пространства ($A \subseteq \Omega$). Из других аксиом следует свойство монотонности вероятности: если событие A влечет за собой событие B (т.е. $A \subseteq B$), то $P(A) \le P(B)$.

Поскольку любое событие A является подмножеством всего пространства $\Omega$, то и его вероятность не может превышать вероятность всего пространства:

$P(A) \le P(\Omega)$, а значит, $P(A) \le 1$.

Ответ: Вероятность события не может быть больше 1, потому что она по определению представляет собой долю (или часть) благоприятных исходов от общего числа всех возможных исходов. Число благоприятных исходов не может превышать общее число исходов, поэтому их отношение (дробь) всегда будет меньше или равно единице. Значение 1 соответствует достоверному событию, когда абсолютно все возможные исходы являются благоприятными.

10. Сформулируйте определение события, противоположного событию $A$.

10. Событие, противоположное событию $A$, — это событие, которое происходит тогда и только тогда, когда событие $A$ не происходит. Другими словами, если в результате некоторого случайного эксперимента (испытания) наступает событие $A$, то противоположное ему событие не наступает, и наоборот.

Противоположное событие для события $A$ принято обозначать $\bar{A}$ (читается "А с чертой"), $A'$ или $A^c$.

Пример: При броске игрального кубика рассмотрим событие $A$ = "выпало число, кратное 3" (то есть выпало 3 или 6). Тогда противоположное событие $\bar{A}$ = "выпало число, не кратное 3" (то есть выпало 1, 2, 4 или 5).

Событие и противоположное ему событие обладают двумя важными свойствами, которые вытекают из определения:

1. Они образуют полную группу событий. Это означает, что в результате испытания обязательно произойдет одно из них: либо $A$, либо $\bar{A}$. Их объединение является достоверным событием (обозначается $\Omega$, всё пространство элементарных исходов): $A \cup \bar{A} = \Omega$.

2. Они несовместны, то есть не могут произойти одновременно. Их пересечение является невозможным событием (пустым множеством $\emptyset$): $A \cap \bar{A} = \emptyset$.

Из этих свойств следует важнейшая формула для вероятностей: сумма вероятностей противоположных событий всегда равна единице.

$P(A) + P(\bar{A}) = 1$

Эта формула позволяет находить вероятность одного события, если известна вероятность другого: $P(A) = 1 - P(\bar{A})$. Это особенно полезно в случаях, когда вероятность противоположного события вычислить значительно проще.

Ответ: Событием, противоположным событию $A$, называется событие (обозначаемое $\bar{A}$), которое состоит в том, что событие $A$ не происходит.

11. Сформулируйте теорему о нахождении вероятности противоположного события.

Теорема о нахождении вероятности противоположного события является одним из фундаментальных следствий аксиом теории вероятностей. Для ее формулировки сначала введем понятие противоположного события.

Определение

Пусть в некотором случайном эксперименте может произойти событие $A$. Тогда событие, заключающееся в том, что событие $A$ не произошло, называется противоположным событием (или дополнением) и обозначается как $\bar{A}$.

События $A$ и $\bar{A}$ являются несовместными (не могут произойти одновременно) и образуют полную группу (в результате эксперимента обязательно произойдет либо $A$, либо $\bar{A}$).

Формулировка теоремы

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Математически это записывается так: $P(A) + P(\bar{A}) = 1$

Из этой теоремы следует прямое правило для вычисления вероятности противоположного события:

Вероятность противоположного события $\bar{A}$ равна разности между единицей и вероятностью прямого события $A$.

Формула для нахождения: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Эта теорема особенно полезна, когда вычислить вероятность события «напрямую» сложно, а вероятность того, что оно не наступит, рассчитать значительно проще.

Ответ: Теорема о вероятности противоположного события гласит, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице: $P(A) + P(\bar{A}) = 1$. Следовательно, вероятность противоположного события можно найти по формуле: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

12. Какие два события называются несовместными?

В теории вероятностей два случайных события называют несовместимыми (или взаимоисключающими), если наступление одного из них полностью исключает наступление другого в рамках одного и того же испытания (или эксперимента). Проще говоря, несовместимые события не могут произойти одновременно.

С точки зрения теории множеств, события $A$ и $B$ являются несовместимыми, если их пересечение является невозможным событием (пустым множеством). Математически это выражается так:

$A \cap B = \emptyset$

где $\cap$ — знак пересечения событий, а $\emptyset$ — пустое множество.Следовательно, вероятность совместного наступления двух несовместимых событий всегда равна нулю:

$P(A \cap B) = 0$ или $P(AB) = 0$

Примеры несовместимых событий:

• При однократном подбрасывании монеты: событие $A$ – «выпал орёл» и событие $B$ – «выпала решка». Эти события не могут произойти одновременно.
• При однократном броске игрального кубика: событие $C$ – «выпало 1 очко» и событие $D$ – «выпало 6 очков».
• При вытягивании одной карты из колоды: событие $E$ – «карта является тузом» и событие $F$ – «карта является королём».

Для сравнения, события «выпало чётное число очков» и «выпало число очков, большее 3» при броске кубика не являются несовместимыми, так как они могут произойти одновременно (если выпадет 4 или 6). Такие события называются совместными.

Важным свойством несовместимых событий является то, что вероятность наступления хотя бы одного из них (их объединения) равна сумме их вероятностей (формула сложения вероятностей для несовместимых событий):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Ответ: Два события называются несовместимыми, если они не могут произойти одновременно в результате одного и того же испытания. Появление одного из таких событий полностью исключает появление другого. Вероятность их совместного наступления равна нулю.

13. Сформулируйте теорему о вероятности $P(A + B)$ суммы двух несовместных событий.

13.

Для формулировки теоремы необходимо сначала дать определение несовместных событий. Два случайных события $A$ и $B$ называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в результате одного и того же испытания. Иными словами, наступление одного события исключает наступление другого. Для несовместных событий их совмещение (произведение, пересечение) является невозможным событием, и вероятность их одновременного наступления равна нулю: $P(AB) = 0$.

Теорема о вероятности суммы двух несовместных событий (теорема сложения вероятностей):

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Суммой событий $A + B$ (или $A \cup B$) называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий $A$ или $B$. В случае несовместных событий это означает наступление либо события $A$, либо события $B$.

Данная теорема математически выражается следующей формулой:

$P(A + B) = P(A) + P(B)$

где $P(A)$ — это вероятность наступления события $A$, а $P(B)$ — это вероятность наступления события $B$.

Ответ: Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме их вероятностей, что выражается формулой $P(A + B) = P(A) + P(B)$.

14. На отрезке $[0; 5]$ наугад выбирают точку. Какова вероятность того, что она окажется ближе к числу 3, чем к числу 1?

Эта задача решается с помощью методов геометрической вероятности. Вероятность события в данном случае определяется как отношение длины отрезка, соответствующего благоприятным исходам, к длине всего отрезка, на котором выбирается точка.

Пусть $x$ — это координата точки, случайно выбранной на отрезке $[0; 5]$.

1. Определение общего пространства исходов.
Точка выбирается на отрезке $[0; 5]$. Длина этого отрезка является мерой всего пространства возможных исходов. $L_{общ} = 5 - 0 = 5$.

2. Определение благоприятных исходов.
Событие, вероятность которого мы ищем, заключается в том, что выбранная точка $x$ находится ближе к числу 3, чем к числу 1. Расстояние между двумя точками на числовой прямой $a$ и $b$ равно $|a - b|$. Таким образом, условие можно записать в виде неравенства:

$|x - 3| < |x - 1|$

Чтобы найти все значения $x$, удовлетворяющие этому условию, найдем точку, которая равноудалена от 1 и 3. Это середина отрезка, соединяющего точки 1 и 3:

$x_0 = \frac{1 + 3}{2} = 2$

Любая точка $x$, для которой $x > 2$, будет ближе к 3, чем к 1. Любая точка, для которой $x < 2$, будет ближе к 1, чем к 3. Следовательно, искомое множество точек удовлетворяет условию $x > 2$.

3. Определение отрезка благоприятных исходов.
Нам нужно найти точки, которые принадлежат исходному отрезку $[0; 5]$ и одновременно удовлетворяют условию $x > 2$. Пересечением множеств $[0; 5]$ и $(2; +\infty)$ является интервал $(2; 5]$.

Длина этого отрезка благоприятных исходов равна: $L_{бл} = 5 - 2 = 3$.

4. Вычисление вероятности.
Вероятность $P$ равна отношению длины благоприятного отрезка к длине общего отрезка:

$P = \frac{L_{бл}}{L_{общ}} = \frac{3}{5} = 0.6$

Ответ: $0.6$

15. В поле $3 \times 3$ для игры в крестики-нолики наугад выбирают точку. Какова вероятность того, что она окажется в центральном квадратике?

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае площади) благоприятствующей области к мере всей области возможных исходов.

Игровое поле для игры в крестики-нолики представляет собой квадрат размером $3 \times 3$, который состоит из 9 одинаковых маленьких квадратиков.

Для нахождения вероятности нам нужно определить две величины:
1. Общую площадь всего игрового поля ($S_{общая}$).
2. Площадь области, попадание в которую является благоприятным исходом, то есть площадь центрального квадратика ($S_{центр}$).

Примем, что сторона одного маленького квадратика равна 1 условной единице. Тогда его площадь составляет $1 \times 1 = 1$ квадратную единицу.

Общая площадь всего поля, состоящего из 9 таких квадратиков, будет равна:
$S_{общая} = 9 \times 1 = 9$ квадратных единиц.

Благоприятный исход — это попадание точки в центральный квадратик. В сетке $3 \times 3$ есть только один центральный квадратик. Его площадь равна:
$S_{центр} = 1 \times 1 = 1$ квадратная единица.

Вероятность $P$ того, что случайно выбранная точка окажется в центральном квадратике, вычисляется по формуле:
$P = \frac{S_{центр}}{S_{общая}}$

Подставляем найденные значения площадей в формулу:
$P = \frac{1}{9}$

Также можно рассуждать с точки зрения классического определения вероятности, считая выбор каждого из 9 квадратиков равновероятным событием. Общее число возможных исходов (всех квадратиков) равно $n=9$. Число благоприятных исходов (центральный квадратик) равно $m=1$. Тогда вероятность равна $P = \frac{m}{n} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$