Номер 9, страница 214, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Почему вероятность любого события не может быть больше чем 1?

Вероятность любого события не может быть больше 1, что напрямую следует из её математического определения. Существует несколько способов это объяснить.

1. Классическое определение вероятности

Согласно классическому определению, вероятность события A вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию (обозначим его m), к общему числу всех равновозможных элементарных исходов испытания (обозначим его n).

Математически это выражается формулой:

$P(A) = \frac{m}{n}$

В этой формуле:

• m – это количество "успешных" или "нужных нам" результатов.
• n – это общее количество всех возможных результатов эксперимента.

Ключевой момент заключается в том, что число благоприятствующих исходов m является частью (подмножеством) общего числа исходов n. Следовательно, m не может быть больше, чем n. В предельном случае, когда событие является достоверным (т.е. оно гарантированно произойдет), все возможные исходы являются благоприятствующими, и тогда $m = n$.

Например, при подбрасывании игральной кости с 6 гранями (исходы 1, 2, 3, 4, 5, 6), общее число исходов $n=6$.

• Событие "выпало число 7" является невозможным. Здесь $m=0$, и вероятность $P = \frac{0}{6} = 0$.
• Событие "выпало чётное число" (2, 4, 6) имеет $m=3$ благоприятных исхода. Вероятность $P = \frac{3}{6} = 0.5$.
• Событие "выпало число меньше 7" является достоверным. Здесь все 6 исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6) являются благоприятными, т.е. $m=6$. Вероятность $P = \frac{6}{6} = 1$.

Как видно из примеров, число m никогда не может превысить n. Таким образом, всегда справедливо неравенство:

$0 \le m \le n$

Если разделить все части этого неравенства на положительное число n, получим:

$\frac{0}{n} \le \frac{m}{n} \le \frac{n}{n}$

Что приводит нас к фундаментальному свойству вероятности:

$0 \le P(A) \le 1$

Это математически доказывает, что вероятность любого события находится в пределах от 0 до 1 включительно.

2. Аксиоматическое определение вероятности

В более строгой, современной теории вероятностей, основанной на аксиомах Колмогорова, это свойство также является фундаментальным. Одна из аксиом постулирует, что вероятность всего пространства элементарных событий $\Omega$ (т.е. достоверного события, которое включает все возможные исходы) равна 1:

$P(\Omega) = 1$

Любое другое событие A является подмножеством этого пространства ($A \subseteq \Omega$). Из других аксиом следует свойство монотонности вероятности: если событие A влечет за собой событие B (т.е. $A \subseteq B$), то $P(A) \le P(B)$.

Поскольку любое событие A является подмножеством всего пространства $\Omega$, то и его вероятность не может превышать вероятность всего пространства:

$P(A) \le P(\Omega)$, а значит, $P(A) \le 1$.

Ответ: Вероятность события не может быть больше 1, потому что она по определению представляет собой долю (или часть) благоприятных исходов от общего числа всех возможных исходов. Число благоприятных исходов не может превышать общее число исходов, поэтому их отношение (дробь) всегда будет меньше или равно единице. Значение 1 соответствует достоверному событию, когда абсолютно все возможные исходы являются благоприятными.