Номер 1.26, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1.26 Найдите такое натуральное значение параметра $p$, при котором во множестве решений неравенства $(x - 8)(p + x) \le 0$ содержатся:

а) десять целых чисел;

б) два отрицательных целых числа;

в) четыре целых неположительных числа;

г) только положительные целые числа.

Для решения задачи сначала проанализируем данное неравенство: $(x-8)(p+x) \le 0$. Это квадратичное неравенство относительно переменной $x$. Корни соответствующего уравнения $(x-8)(p+x) = 0$ равны $x_1 = 8$ и $x_2 = -p$. По условию, $p$ — натуральное число, то есть $p \in \{1, 2, 3, \ldots\}$. Следовательно, $x_2 = -p$ является отрицательным целым числом, и всегда выполняется условие $-p < 8$. Решением неравенства вида $(x-a)(x-b) \le 0$ при $a>b$ является промежуток $[b, a]$. В нашем случае решением является промежуток $[-p, 8]$.

а) десять целых чисел;

Множество решений неравенства — промежуток $[-p, 8]$. Нам нужно найти такое натуральное $p$, при котором этот промежуток содержит ровно десять целых чисел. Целые числа, входящие в этот промежуток: $-p, -p+1, \ldots, -1, 0, 1, \ldots, 8$. Количество целых чисел в замкнутом промежутке $[a, b]$, где $a$ и $b$ — целые, вычисляется по формуле $b - a + 1$. В нашем случае количество целых чисел равно $8 - (-p) + 1 = 8 + p + 1 = p + 9$. По условию, это количество должно быть равно десяти: $p + 9 = 10$ $p = 10 - 9$ $p = 1$ Значение $p=1$ является натуральным числом.

Ответ: $1$.

б) два отрицательных целых числа;

Отрицательные целые числа, содержащиеся в промежутке $[-p, 8]$, — это числа из множества $\{-p, -p+1, \ldots, -1\}$. Количество таких чисел равно $(-1) - (-p) + 1 = -1 + p + 1 = p$. По условию, количество отрицательных целых чисел должно быть равно двум: $p = 2$ Значение $p=2$ является натуральным числом.

Ответ: $2$.

в) четыре целых неположительных числа;

Неположительные целые числа — это отрицательные целые числа и ноль. Неположительные целые числа, содержащиеся в промежутке $[-p, 8]$, — это числа из множества $\{-p, -p+1, \ldots, -1, 0\}$. Количество таких чисел равно $0 - (-p) + 1 = p + 1$. По условию, это количество должно быть равно четырем: $p + 1 = 4$ $p = 4 - 1$ $p = 3$ Значение $p=3$ является натуральным числом.

Ответ: $3$.

г) только положительные целые числа.

Множество решений неравенства — промежуток $[-p, 8]$. Множество целых решений должно содержать только положительные числа. Поскольку $p$ — натуральное число, $p \ge 1$, то левая граница промежутка $-p \le -1$. Это означает, что промежуток $[-p, 8]$ всегда содержит число $0$, так как $-p \le 0 \le 8$. Число $0$ является целым, но не является положительным. Следовательно, для любого натурального $p$ множество целых решений неравенства будет содержать как минимум одно неположительное число (ноль). Таким образом, оно не может состоять только из положительных чисел.

Ответ: таких значений $p$ не существует.