Номер 2.7, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.7 а) $(x - 4)(3x^2 + x) > 0;$

б) $(2x + 3)(x^2 - 1) \le 0;$

в) $(x + 5)(2x^2 - x) \ge 0;$

г) $(4x - 1)(x^2 - 4) < 0.$

а) $(x - 4)(3x^2 + x) > 0$

Для решения неравенства используем метод интервалов. Сначала разложим левую часть на множители:

$(x - 4)x(3x + 1) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 4)(3x + 1) = 0$. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x = 0$

$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

$3x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1/3$

Отметим полученные корни $(-1/3, 0, 4)$ на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми.

Определим знак выражения в каждом интервале. На крайнем правом интервале $(4; +\infty)$ выражение будет положительным, так как все коэффициенты при $x$ в множителях положительны. Далее знаки чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1).

Знаки на интервалах: $(-\infty; -1/3)$ - минус, $(-1/3; 0)$ - плюс, $(0; 4)$ - минус, $(4; +\infty)$ - плюс.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (-1/3; 0) \cup (4; +\infty)$.

б) $(2x + 3)(x^2 - 1) \le 0$

Разложим на множители выражение в левой части, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2x + 3)(x - 1)(x + 1) \le 0$

Найдем корни уравнения $(2x + 3)(x - 1)(x + 1) = 0$:

$2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3/2 = -1.5$

$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

Отметим корни $(-1.5, -1, 1)$ на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными.

Определим знаки методом интервалов. На крайнем правом интервале $(1; +\infty)$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.

Знаки на интервалах: $(-\infty; -3/2]$ - минус, $[-3/2; -1]$ - плюс, $[-1; 1]$ - минус, $[1; +\infty)$ - плюс.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак "-").

Ответ: $x \in (-\infty; -3/2] \cup [-1; 1]$.

в) $(x + 5)(2x^2 - x) \ge 0$

Разложим левую часть на множители:

$(x + 5)x(2x - 1) \ge 0$

Найдем корни уравнения $(x + 5)x(2x - 1) = 0$:

$x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$

$x = 0$

$2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/2 = 0.5$

Отметим корни $(-5, 0, 0.5)$ на числовой оси. Точки закрашенные, так как неравенство нестрогое ($\ge$).

Определим знаки методом интервалов. На крайнем правом интервале $(1/2; +\infty)$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.

Знаки на интервалах: $(-\infty; -5]$ - минус, $[-5; 0]$ - плюс, $[0; 1/2]$ - минус, $[1/2; +\infty)$ - плюс.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").

Ответ: $x \in [-5; 0] \cup [1/2; +\infty)$.

г) $(4x - 1)(x^2 - 4) < 0$

Разложим на множители левую часть неравенства:

$(4x - 1)(x - 2)(x + 2) < 0$

Найдем корни уравнения $(4x - 1)(x - 2)(x + 2) = 0$:

$4x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/4 = 0.25$

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

Отметим корни $(-2, 0.25, 2)$ на числовой оси. Точки выколотые, так как неравенство строгое (<).

Определим знаки методом интервалов. На крайнем правом интервале $(2; +\infty)$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.

Знаки на интервалах: $(-\infty; -2)$ - минус, $(-2; 1/4)$ - плюс, $(1/4; 2)$ - минус, $(2; +\infty)$ - плюс.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1/4; 2)$.