Номер 2.8, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.8 Решите неравенство:

а) $(2 - x)(3x + 1)(2x - 3) > 0;$

б) $(2x + 3)(1 - 2x)(x - 1) \le 0;$

в) $(3x - 2)(x - 4)(3 - 2x) < 0;$

г) $(x + 7)(4x + 3)(5 - 2x) \ge 0.$

Для решения данного неравенства применим метод интервалов.

1. Найдем нули (корни) выражения в левой части, приравняв каждый множитель к нулю:
$2 - x = 0 \implies x_1 = 2$
$3x + 1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x_2 = -1/3$
$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x_3 = 3/2$

2. Преобразуем неравенство, чтобы коэффициенты при $x$ в каждом множителе были положительными. Для этого вынесем знак минус из скобки $(2-x)$:
$-(x - 2)(3x + 1)(2x - 3) > 0$
Домножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$(x - 2)(3x + 1)(2x - 3) < 0$

3. Отметим найденные корни на числовой оси в порядке возрастания: $-1/3$, $3/2$, $2$. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми. Эти точки разбивают ось на четыре интервала.
Определим знак выражения в крайнем правом интервале, например, при $x=10$:
$(10 - 2)(3 \cdot 10 + 1)(2 \cdot 10 - 3) = (+)(+)(+) = +$.
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.
Расставим знаки на интервалах: $(-\infty; -1/3) \xrightarrow{-} (-1/3) \xrightarrow{+} (3/2) \xrightarrow{-} (2) \xrightarrow{+} (+\infty)$.

4. Поскольку мы ищем решение неравенства $(x - 2)(3x + 1)(2x - 3) < 0$, нас интересуют интервалы со знаком "минус".

Ответ: $x \in (-\infty; -1/3) \cup (3/2; 2)$.

1. Найдем нули выражения, решив уравнение $(2x + 3)(1 - 2x)(x - 1) = 0$:
$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x_1 = -3/2$
$1 - 2x = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = 1/2$
$x - 1 = 0 \implies x_3 = 1$

2. Приведем неравенство к стандартному виду. Вынесем $-1$ из скобки $(1-2x)$:
$(2x + 3)(-(2x - 1))(x - 1) \le 0$
$-(2x + 3)(2x - 1)(x - 1) \le 0$
Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак на противоположный:
$(2x + 3)(2x - 1)(x - 1) \ge 0$

3. Отметим корни на числовой оси: $-3/2$, $1/2$, $1$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точки будут закрашенными.
Определим знак в крайнем правом интервале, при $x=2$:
$(2 \cdot 2 + 3)(2 \cdot 2 - 1)(2 - 1) = (+)(+)(+) = +$.
Знаки на интервалах чередуются: $(-\infty; -3/2] \xrightarrow{-} [-3/2] \xrightarrow{+} [1/2] \xrightarrow{-} [1] \xrightarrow{+} [1; +\infty)$.

4. Нам нужно найти решение неравенства $(2x + 3)(2x - 1)(x - 1) \ge 0$, то есть выбрать интервалы со знаком "плюс", включая концы интервалов.

Ответ: $x \in [-3/2; 1/2] \cup [1; +\infty)$.

1. Найдем нули выражения:
$3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x_1 = 2/3$
$x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$
$3 - 2x = 0 \implies 2x = 3 \implies x_3 = 3/2$

2. Преобразуем неравенство. Вынесем $-1$ из скобки $(3-2x)$:
$(3x - 2)(x - 4)(-(2x - 3)) < 0$
$-(3x - 2)(x - 4)(2x - 3) < 0$
Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$(3x - 2)(x - 4)(2x - 3) > 0$

3. Отметим выколотые точки $2/3$, $3/2$, $4$ на числовой оси.
Определим знак в крайнем правом интервале при $x=5$:
$(3 \cdot 5 - 2)(5 - 4)(2 \cdot 5 - 3) = (+)(+)(+) = +$.
Знаки на интервалах: $(-\infty; 2/3) \xrightarrow{-} (2/3) \xrightarrow{+} (3/2) \xrightarrow{-} (4) \xrightarrow{+} (+\infty)$.

4. Ищем решение для $(3x - 2)(x - 4)(2x - 3) > 0$, что соответствует интервалам со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (2/3; 3/2) \cup (4; +\infty)$.

1. Найдем нули выражения:
$x + 7 = 0 \implies x_1 = -7$
$4x + 3 = 0 \implies 4x = -3 \implies x_2 = -3/4$
$5 - 2x = 0 \implies 2x = 5 \implies x_3 = 5/2$

2. Преобразуем неравенство, вынеся $-1$ из множителя $(5-2x)$:
$(x + 7)(4x + 3)(-(2x - 5)) \ge 0$
$-(x + 7)(4x + 3)(2x - 5) \ge 0$
Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$(x + 7)(4x + 3)(2x - 5) \le 0$

3. Отметим закрашенные точки $-7$, $-3/4$, $5/2$ на числовой оси.
Определим знак в крайнем правом интервале при $x=3$:
$(3 + 7)(4 \cdot 3 + 3)(2 \cdot 3 - 5) = (+)(+)(+) = +$.
Знаки на интервалах: $(-\infty; -7] \xrightarrow{-} [-7] \xrightarrow{+} [-3/4] \xrightarrow{-} [5/2] \xrightarrow{+} [5/2; +\infty)$.

4. Ищем решение для $(x + 7)(4x + 3)(2x - 5) \le 0$, что соответствует интервалам со знаком "минус", включая концы интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [-3/4; 5/2]$.