Страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2.3 a) $x^2 - x > 0;$

б) $2x + x^2 \le 0;$

В) $x^2 - 3x \ge 0;$

Г) $5x + x^2 < 0.$

а) $x^2 - x > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Эти корни делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 - x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Значит, функция принимает положительные значения ($y > 0$) вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

б) $2x + x^2 \le 0$

Перепишем неравенство в стандартном виде: $x^2 + 2x \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$).

Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни, так как в этих точках функция равна нулю.

Ответ: $x \in [-2; 0]$.

в) $x^2 - 3x \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$) в точках, лежащих на оси Ох и выше нее, то есть вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [3; +\infty)$.

г) $5x + x^2 < 0$

Перепишем неравенство в стандартном виде: $x^2 + 5x < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 5) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.

Графиком функции $y = x^2 + 5x$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) строго между корнями.

Ответ: $x \in (-5; 0)$.

2.4 a) $x^2 - 4 > 0;$

Б) $x(x^2 - 9) \le 0;$

В) $x^2 - 25 \ge 0;$

Г) $x(x^2 - 64) < 0.$

a) Решим неравенство $x^2 - 4 > 0$.

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x + 2) > 0$.

Для решения неравенства используем метод интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$.

Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ и $(2, \infty)$.

Определим знак выражения $(x-2)(x+2)$ в каждом интервале. Для этого достаточно взять любую точку из интервала и подставить ее в выражение.

• При $x \in (-\infty, -2)$, например $x = -3$: $(-3 - 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = 5 > 0$. Значит, на этом интервале выражение положительно.
• При $x \in (-2, 2)$, например $x = 0$: $(0 - 2)(0 + 2) = (-2)(2) = -4 < 0$. Значит, на этом интервале выражение отрицательно.
• При $x \in (2, \infty)$, например $x = 3$: $(3 - 2)(3 + 2) = (1)(5) = 5 > 0$. Значит, на этом интервале выражение положительно.

Так как неравенство строгое ($> 0$), нас интересуют интервалы, где выражение положительно. Это $(-\infty, -2)$ и $(2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

б) Решим неравенство $x(x^2 - 9) \le 0$.

Разложим выражение $x^2 - 9$ на множители по формуле разности квадратов:

$x(x - 3)(x + 3) \le 0$.

Применим метод интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 3)(x + 3) = 0$.

Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$, $x_3 = 3$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, -3]$, $[-3, 0]$, $[0, 3]$ и $[3, \infty)$.

Определим знак выражения $x(x - 3)(x + 3)$ на каждом интервале.

• При $x \in (-\infty, -3)$, например $x = -4$: $(-4)(-4 - 3)(-4 + 3) = (-4)(-7)(-1) = -28 < 0$.
• При $x \in (-3, 0)$, например $x = -1$: $(-1)(-1 - 3)(-1 + 3) = (-1)(-4)(2) = 8 > 0$.
• При $x \in (0, 3)$, например $x = 1$: $(1)(1 - 3)(1 + 3) = (1)(-2)(4) = -8 < 0$.
• При $x \in (3, \infty)$, например $x = 4$: $(4)(4 - 3)(4 + 3) = (4)(1)(7) = 28 > 0$.

Так как неравенство нестрогое ($\le 0$), в решение входят интервалы, где выражение отрицательно, а также сами корни. Это $(-\infty, -3]$ и $[0, 3]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [0, 3]$.

в) Решим неравенство $x^2 - 25 \ge 0$.

Разложим левую часть на множители:

$(x - 5)(x + 5) \ge 0$.

Используем метод интервалов. Корни уравнения $(x - 5)(x + 5) = 0$ равны $x_1 = -5$, $x_2 = 5$.

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения в интервалах $(-\infty, -5]$, $[-5, 5]$ и $[5, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, -5)$, например $x = -6$: $(-6 - 5)(-6 + 5) = (-11)(-1) = 11 > 0$.
• При $x \in (-5, 5)$, например $x = 0$: $(0 - 5)(0 + 5) = (-5)(5) = -25 < 0$.
• При $x \in (5, \infty)$, например $x = 6$: $(6 - 5)(6 + 5) = (1)(11) = 11 > 0$.

Так как неравенство нестрогое ($\ge 0$), нас интересуют интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Это $(-\infty, -5]$ и $[5, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.

г) Решим неравенство $x(x^2 - 64) < 0$.

Разложим выражение $x^2 - 64$ на множители:

$x(x - 8)(x + 8) < 0$.

Применим метод интервалов. Корни уравнения $x(x - 8)(x + 8) = 0$ равны $x_1 = -8$, $x_2 = 0$, $x_3 = 8$.

Отметим точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, -8)$, $(-8, 0)$, $(0, 8)$ и $(8, \infty)$.

Определим знак выражения $x(x - 8)(x + 8)$ в каждом интервале.

• При $x \in (-\infty, -8)$, например $x = -9$: $(-9)(-9 - 8)(-9 + 8) = (-9)(-17)(-1) < 0$.
• При $x \in (-8, 0)$, например $x = -1$: $(-1)(-1 - 8)(-1 + 8) = (-1)(-9)(7) > 0$.
• При $x \in (0, 8)$, например $x = 1$: $(1)(1 - 8)(1 + 8) = (1)(-7)(9) < 0$.
• При $x \in (8, \infty)$, например $x = 9$: $(9)(9 - 8)(9 + 8) = (9)(1)(17) > 0$.

Так как неравенство строгое ($< 0$), нас интересуют интервалы, где выражение отрицательно. Это $(-\infty, -8)$ и $(0, 8)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup (0, 8)$.

2.5 a) $a^2 > 225$;

б) $\frac{1}{9}z^2 < 0$;

в) $b^2 \le 16$;

г) $\frac{1}{4}c^2 \ge 1$.

а) Чтобы решить неравенство $a^2 > 225$, можно извлечь квадратный корень из обеих частей. Это приводит к неравенству с модулем: $|a| > \sqrt{225}$, то есть $|a| > 15$. Решением этого неравенства является совокупность $a > 15$ и $a < -15$.
Альтернативный метод — метод интервалов. Перенесем все слагаемые в одну сторону: $a^2 - 225 > 0$. Разложим левую часть на множители как разность квадратов: $(a - 15)(a + 15) > 0$. Нули выражения — $a = 15$ и $a = -15$. Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty, -15)$, $(-15, 15)$ и $(15, \infty)$. Так как ветви параболы $y = a^2 - 225$ направлены вверх, выражение положительно на крайних интервалах. Таким образом, решение: $a \in (-\infty; -15) \cup (15; +\infty)$.
Ответ: $a < -15$ или $a > 15$.

б) Рассмотрим неравенство $\frac{1}{9}z^2 < 0$.
Выражение $z^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $z^2 \ge 0$ для любого действительного $z$. Коэффициент $\frac{1}{9}$ — положительное число. Произведение положительного числа на неотрицательное число также всегда неотрицательно: $\frac{1}{9}z^2 \ge 0$.
Таким образом, левая часть неравенства никогда не может быть строго меньше нуля. Следовательно, у данного неравенства нет действительных решений.
Ответ: нет решений.

в) Чтобы решить неравенство $b^2 \le 16$, можно извлечь квадратный корень из обеих частей. Это приводит к неравенству с модулем: $|b| \le \sqrt{16}$, то есть $|b| \le 4$. Решением этого неравенства является двойное неравенство $-4 \le b \le 4$.
Альтернативный метод — метод интервалов. Перенесем все слагаемые в одну сторону: $b^2 - 16 \le 0$. Разложим левую часть на множители как разность квадратов: $(b - 4)(b + 4) \le 0$. Нули выражения — $b = 4$ и $b = -4$. Эти точки делят числовую ось на интервалы. Так как ветви параболы $y = b^2 - 16$ направлены вверх, выражение отрицательно или равно нулю между корнями. Поскольку неравенство нестрогое, концы отрезка включаются в решение. Таким образом, решение: $b \in [-4; 4]$.
Ответ: $-4 \le b \le 4$.

г) Решим неравенство $\frac{1}{4}c^2 \ge 1$.
Сначала умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби. Так как $4 > 0$, знак неравенства не изменится: $c^2 \ge 4$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем неравенство с модулем: $|c| \ge \sqrt{4}$, то есть $|c| \ge 2$. Решением этого неравенства является совокупность $c \ge 2$ и $c \le -2$.
Альтернативный метод — метод интервалов. Перенесем все слагаемые в одну сторону: $c^2 - 4 \ge 0$. Разложим левую часть на множители: $(c - 2)(c + 2) \ge 0$. Нули выражения — $c = 2$ и $c = -2$. Так как ветви параболы $y = c^2 - 4$ направлены вверх, выражение положительно или равно нулю на крайних интервалах. Поскольку неравенство нестрогое, концы интервалов включаются в решение. Таким образом, решение: $c \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.
Ответ: $c \le -2$ или $c \ge 2$.

2.6 a) $(x + 2)(x + 4)(x - 1) > 0$;

б) $(x - 3)(5x - 6)(x + 6) < 0$;

в) $(x - 2)(x + 3)(x + 1) < 0$;

г) $(x + 5)(4x + 1)(x - 3) > 0$.

а) $(x + 2)(x + 4)(x - 1) > 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.
1. Найдём нули функции $f(x) = (x + 2)(x + 4)(x - 1)$, приравняв каждый множитель к нулю:
$x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = -2$
$x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$
$x - 1 = 0 \Rightarrow x_3 = 1$

2. Расположим найденные корни на числовой оси в порядке возрастания: -4, -2, 1. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; -2)$, $(-2; 1)$ и $(1; +\infty)$. Так как неравенство строгое (знак $> $), все точки будут выколотыми.

3. Определим знак выражения в каждом из интервалов. Можно взять любую точку из крайнего правого интервала $(1; +\infty)$, например $x = 2$, и подставить в выражение:
$(2 + 2)(2 + 4)(2 - 1) = 4 \cdot 6 \cdot 1 = 24$.
Результат положительный, значит, в этом интервале ставим знак "+".

4. Поскольку все корни имеют нечетную кратность (равную 1), при переходе через каждый корень знак будет меняться. Таким образом, знаки в интервалах, двигаясь справа налево, будут чередоваться: +, -, +, -.

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение больше нуля ($ > 0$). Это соответствует интервалам со знаком "+".
Следовательно, решением являются интервалы $(-4; -2)$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4; -2) \cup (1; +\infty)$.

б) $(x - 3)(5x - 6)(x + 6) < 0$

Решаем неравенство методом интервалов.
1. Найдём нули выражения, приравняв каждый множитель к нулю:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$
$5x - 6 = 0 \Rightarrow 5x = 6 \Rightarrow x_2 = \frac{6}{5} = 1.2$
$x + 6 = 0 \Rightarrow x_3 = -6$

2. Отметим точки на числовой оси в порядке возрастания: -6, $\frac{6}{5}$, 3. Они делят ось на интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; \frac{6}{5})$, $(\frac{6}{5}; 3)$ и $(3; +\infty)$. Неравенство строгое ($ < $), поэтому точки выколотые.

3. Определим знак в крайнем правом интервале $(3; +\infty)$, взяв $x=4$:
$(4 - 3)(5 \cdot 4 - 6)(4 + 6) = 1 \cdot 14 \cdot 10 = 140 > 0$.
Знак в этом интервале — "+".

4. Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки чередуются. Справа налево: +, -, +, -.

5. Мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше нуля ($ < 0$). Это соответствует интервалам со знаком "-".
Решением являются интервалы $(-\infty; -6)$ и $(\frac{6}{5}; 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (\frac{6}{5}; 3)$.

в) $(x - 2)(x + 3)(x + 1) < 0$

Решаем методом интервалов.
1. Найдём нули выражения:
$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$
$x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3$
$x + 1 = 0 \Rightarrow x_3 = -1$

2. Расположим точки на числовой оси: -3, -1, 2. Они образуют интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$. Точки выколотые, так как неравенство строгое.

3. Определим знак в крайнем правом интервале $(2; +\infty)$, взяв $x=3$:
$(3 - 2)(3 + 3)(3 + 1) = 1 \cdot 6 \cdot 4 = 24 > 0$.
Знак — "+".

4. Знаки в интервалах чередуются: +, -, +, -.

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля ($ < 0$), то есть со знаком "-".
Это интервалы $(-\infty; -3)$ и $(-1; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 2)$.

г) $(x + 5)(4x + 1)(x - 3) > 0$

Решаем методом интервалов.
1. Найдём нули выражения:
$x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -5$
$4x + 1 = 0 \Rightarrow 4x = -1 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{4}$
$x - 3 = 0 \Rightarrow x_3 = 3$

2. Отметим точки на числовой оси: -5, $-\frac{1}{4}$, 3. Они образуют интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; -\frac{1}{4})$, $(-\frac{1}{4}; 3)$ и $(3; +\infty)$. Точки выколотые.

3. Определим знак в крайнем правом интервале $(3; +\infty)$, взяв $x=4$:
$(4 + 5)(4 \cdot 4 + 1)(4 - 3) = 9 \cdot 17 \cdot 1 = 153 > 0$.
Знак — "+".

4. Знаки чередуются: +, -, +, -.

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля ($ > 0$), то есть со знаком "+".
Это интервалы $(-5; -\frac{1}{4})$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5; -\frac{1}{4}) \cup (3; +\infty)$.

2.7 а) $(x - 4)(3x^2 + x) > 0;$

б) $(2x + 3)(x^2 - 1) \le 0;$

в) $(x + 5)(2x^2 - x) \ge 0;$

г) $(4x - 1)(x^2 - 4) < 0.$

а) $(x - 4)(3x^2 + x) > 0$

Для решения неравенства используем метод интервалов. Сначала разложим левую часть на множители:

$(x - 4)x(3x + 1) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 4)(3x + 1) = 0$. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x = 0$

$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

$3x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1/3$

Отметим полученные корни $(-1/3, 0, 4)$ на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми.

Определим знак выражения в каждом интервале. На крайнем правом интервале $(4; +\infty)$ выражение будет положительным, так как все коэффициенты при $x$ в множителях положительны. Далее знаки чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1).

Знаки на интервалах: $(-\infty; -1/3)$ - минус, $(-1/3; 0)$ - плюс, $(0; 4)$ - минус, $(4; +\infty)$ - плюс.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (-1/3; 0) \cup (4; +\infty)$.

б) $(2x + 3)(x^2 - 1) \le 0$

Разложим на множители выражение в левой части, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2x + 3)(x - 1)(x + 1) \le 0$

Найдем корни уравнения $(2x + 3)(x - 1)(x + 1) = 0$:

$2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3/2 = -1.5$

$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

Отметим корни $(-1.5, -1, 1)$ на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными.

Определим знаки методом интервалов. На крайнем правом интервале $(1; +\infty)$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.

Знаки на интервалах: $(-\infty; -3/2]$ - минус, $[-3/2; -1]$ - плюс, $[-1; 1]$ - минус, $[1; +\infty)$ - плюс.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак "-").

Ответ: $x \in (-\infty; -3/2] \cup [-1; 1]$.

в) $(x + 5)(2x^2 - x) \ge 0$

Разложим левую часть на множители:

$(x + 5)x(2x - 1) \ge 0$

Найдем корни уравнения $(x + 5)x(2x - 1) = 0$:

$x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$

$x = 0$

$2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/2 = 0.5$

Отметим корни $(-5, 0, 0.5)$ на числовой оси. Точки закрашенные, так как неравенство нестрогое ($\ge$).

Определим знаки методом интервалов. На крайнем правом интервале $(1/2; +\infty)$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.

Знаки на интервалах: $(-\infty; -5]$ - минус, $[-5; 0]$ - плюс, $[0; 1/2]$ - минус, $[1/2; +\infty)$ - плюс.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").

Ответ: $x \in [-5; 0] \cup [1/2; +\infty)$.

г) $(4x - 1)(x^2 - 4) < 0$

Разложим на множители левую часть неравенства:

$(4x - 1)(x - 2)(x + 2) < 0$

Найдем корни уравнения $(4x - 1)(x - 2)(x + 2) = 0$:

$4x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/4 = 0.25$

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

Отметим корни $(-2, 0.25, 2)$ на числовой оси. Точки выколотые, так как неравенство строгое (<).

Определим знаки методом интервалов. На крайнем правом интервале $(2; +\infty)$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.

Знаки на интервалах: $(-\infty; -2)$ - минус, $(-2; 1/4)$ - плюс, $(1/4; 2)$ - минус, $(2; +\infty)$ - плюс.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1/4; 2)$.

2.8 Решите неравенство:

а) $(2 - x)(3x + 1)(2x - 3) > 0;$

б) $(2x + 3)(1 - 2x)(x - 1) \le 0;$

в) $(3x - 2)(x - 4)(3 - 2x) < 0;$

г) $(x + 7)(4x + 3)(5 - 2x) \ge 0.$

Для решения данного неравенства применим метод интервалов.

1. Найдем нули (корни) выражения в левой части, приравняв каждый множитель к нулю:
$2 - x = 0 \implies x_1 = 2$
$3x + 1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x_2 = -1/3$
$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x_3 = 3/2$

2. Преобразуем неравенство, чтобы коэффициенты при $x$ в каждом множителе были положительными. Для этого вынесем знак минус из скобки $(2-x)$:
$-(x - 2)(3x + 1)(2x - 3) > 0$
Домножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$(x - 2)(3x + 1)(2x - 3) < 0$

3. Отметим найденные корни на числовой оси в порядке возрастания: $-1/3$, $3/2$, $2$. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми. Эти точки разбивают ось на четыре интервала.
Определим знак выражения в крайнем правом интервале, например, при $x=10$:
$(10 - 2)(3 \cdot 10 + 1)(2 \cdot 10 - 3) = (+)(+)(+) = +$.
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.
Расставим знаки на интервалах: $(-\infty; -1/3) \xrightarrow{-} (-1/3) \xrightarrow{+} (3/2) \xrightarrow{-} (2) \xrightarrow{+} (+\infty)$.

4. Поскольку мы ищем решение неравенства $(x - 2)(3x + 1)(2x - 3) < 0$, нас интересуют интервалы со знаком "минус".

Ответ: $x \in (-\infty; -1/3) \cup (3/2; 2)$.

1. Найдем нули выражения, решив уравнение $(2x + 3)(1 - 2x)(x - 1) = 0$:
$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x_1 = -3/2$
$1 - 2x = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = 1/2$
$x - 1 = 0 \implies x_3 = 1$

2. Приведем неравенство к стандартному виду. Вынесем $-1$ из скобки $(1-2x)$:
$(2x + 3)(-(2x - 1))(x - 1) \le 0$
$-(2x + 3)(2x - 1)(x - 1) \le 0$
Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак на противоположный:
$(2x + 3)(2x - 1)(x - 1) \ge 0$

3. Отметим корни на числовой оси: $-3/2$, $1/2$, $1$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точки будут закрашенными.
Определим знак в крайнем правом интервале, при $x=2$:
$(2 \cdot 2 + 3)(2 \cdot 2 - 1)(2 - 1) = (+)(+)(+) = +$.
Знаки на интервалах чередуются: $(-\infty; -3/2] \xrightarrow{-} [-3/2] \xrightarrow{+} [1/2] \xrightarrow{-} [1] \xrightarrow{+} [1; +\infty)$.

4. Нам нужно найти решение неравенства $(2x + 3)(2x - 1)(x - 1) \ge 0$, то есть выбрать интервалы со знаком "плюс", включая концы интервалов.

Ответ: $x \in [-3/2; 1/2] \cup [1; +\infty)$.

1. Найдем нули выражения:
$3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x_1 = 2/3$
$x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$
$3 - 2x = 0 \implies 2x = 3 \implies x_3 = 3/2$

2. Преобразуем неравенство. Вынесем $-1$ из скобки $(3-2x)$:
$(3x - 2)(x - 4)(-(2x - 3)) < 0$
$-(3x - 2)(x - 4)(2x - 3) < 0$
Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$(3x - 2)(x - 4)(2x - 3) > 0$

3. Отметим выколотые точки $2/3$, $3/2$, $4$ на числовой оси.
Определим знак в крайнем правом интервале при $x=5$:
$(3 \cdot 5 - 2)(5 - 4)(2 \cdot 5 - 3) = (+)(+)(+) = +$.
Знаки на интервалах: $(-\infty; 2/3) \xrightarrow{-} (2/3) \xrightarrow{+} (3/2) \xrightarrow{-} (4) \xrightarrow{+} (+\infty)$.

4. Ищем решение для $(3x - 2)(x - 4)(2x - 3) > 0$, что соответствует интервалам со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (2/3; 3/2) \cup (4; +\infty)$.

1. Найдем нули выражения:
$x + 7 = 0 \implies x_1 = -7$
$4x + 3 = 0 \implies 4x = -3 \implies x_2 = -3/4$
$5 - 2x = 0 \implies 2x = 5 \implies x_3 = 5/2$

2. Преобразуем неравенство, вынеся $-1$ из множителя $(5-2x)$:
$(x + 7)(4x + 3)(-(2x - 5)) \ge 0$
$-(x + 7)(4x + 3)(2x - 5) \ge 0$
Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$(x + 7)(4x + 3)(2x - 5) \le 0$

3. Отметим закрашенные точки $-7$, $-3/4$, $5/2$ на числовой оси.
Определим знак в крайнем правом интервале при $x=3$:
$(3 + 7)(4 \cdot 3 + 3)(2 \cdot 3 - 5) = (+)(+)(+) = +$.
Знаки на интервалах: $(-\infty; -7] \xrightarrow{-} [-7] \xrightarrow{+} [-3/4] \xrightarrow{-} [5/2] \xrightarrow{+} [5/2; +\infty)$.

4. Ищем решение для $(x + 7)(4x + 3)(2x - 5) \le 0$, что соответствует интервалам со знаком "минус", включая концы интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [-3/4; 5/2]$.

2.9 a) $ \frac{x(x-2)}{x+3} > 0; $

б) $ \frac{x^2+6x}{x-2} \le 0; $

В) $ \frac{x(x+1)}{x-9} > 0; $

Г) $ \frac{x-5}{x^2+7x} \le 0. $

а) Решим неравенство $\frac{x(x-2)}{x+3} > 0$ методом интервалов.
1. Найдем нули числителя, приравняв его к нулю: $x(x-2) = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
2. Найдем нули знаменателя, которые являются точками разрыва функции: $x+3 = 0$, откуда $x_3 = -3$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому эта точка всегда будет исключена из решения ("выколота").
3. Отметим найденные точки на числовой оси: $-3$, $0$, $2$. Поскольку неравенство строгое ($>$), все точки будут выколотыми.
4. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знак выражения в каждом из них, подставив любое значение из интервала.
- Для интервала $(2, +\infty)$ возьмем $x=3$: $\frac{3(3-2)}{3+3} = \frac{3 \cdot 1}{6} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(0, 2)$ возьмем $x=1$: $\frac{1(1-2)}{1+3} = \frac{1 \cdot (-1)}{4} < 0$. Знак "-".
- Для интервала $(-3, 0)$ возьмем $x=-1$: $\frac{-1(-1-2)}{-1+3} = \frac{(-1) \cdot (-3)}{2} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(-\infty, -3)$ возьмем $x=-4$: $\frac{-4(-4-2)}{-4+3} = \frac{(-4) \cdot (-6)}{-1} < 0$. Знак "-".
5. Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть где стоит знак "+". Это $(-3, 0)$ и $(2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-3, 0) \cup (2, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{x^2+6x}{x-2} \le 0$.
1. Сначала разложим числитель на множители: $x^2+6x = x(x+6)$. Неравенство принимает вид: $\frac{x(x+6)}{x-2} \le 0$.
2. Найдем нули числителя: $x(x+6) = 0$, откуда $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эти точки входят в решение (будут "закрашенными").
3. Найдем нуль знаменателя: $x-2 = 0$, откуда $x_3 = 2$. Эта точка всегда исключается из решения (будет "выколотой").
4. Отметим точки на числовой оси: $-6$ (закрашенная), $0$ (закрашенная), $2$ (выколотая).
5. Точки разбивают ось на интервалы. Определим знаки выражения в них.
- Для интервала $(2, +\infty)$ возьмем $x=3$: $\frac{3(3+6)}{3-2} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(0, 2)$ возьмем $x=1$: $\frac{1(1+6)}{1-2} < 0$. Знак "-".
- Для интервала $(-6, 0)$ возьмем $x=-1$: $\frac{-1(-1+6)}{-1-2} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(-\infty, -6)$ возьмем $x=-7$: $\frac{-7(-7+6)}{-7-2} < 0$. Знак "-".
6. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le$), то есть где стоит знак "-". Учитывая, что точки $-6$ и $0$ входят в решение, получаем объединение интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [0, 2)$.

в) Решим неравенство $\frac{x(x+1)}{x-9} > 0$.
1. Нули числителя: $x(x+1)=0$, откуда $x_1=0$, $x_2=-1$.
2. Нуль знаменателя: $x-9=0$, откуда $x_3=9$.
3. Отмечаем точки на числовой оси. Неравенство строгое ($>$), поэтому все точки выколотые: $-1, 0, 9$.
4. Определим знаки выражения на интервалах: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 9)$, $(9, +\infty)$.
- Для интервала $(9, +\infty)$ возьмем $x=10$: $\frac{10(10+1)}{10-9} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(0, 9)$ возьмем $x=1$: $\frac{1(1+1)}{1-9} < 0$. Знак "-".
- Для интервала $(-1, 0)$ возьмем $x=-0.5$: $\frac{-0.5(-0.5+1)}{-0.5-9} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(-\infty, -1)$ возьмем $x=-2$: $\frac{-2(-2+1)}{-2-9} < 0$. Знак "-".
5. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").
Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (9, +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{x-5}{x^2+7x} \le 0$.
1. Разложим знаменатель на множители: $x^2+7x = x(x+7)$. Неравенство примет вид: $\frac{x-5}{x(x+7)} \le 0$.
2. Найдем нуль числителя: $x-5=0$, откуда $x_1=5$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка входит в решение (закрашенная).
3. Найдем нули знаменателя: $x(x+7)=0$, откуда $x_2=0$, $x_3=-7$. Эти точки всегда исключаются из решения (выколотые).
4. Отметим точки на числовой оси: $-7$ (выколотая), $0$ (выколотая), $5$ (закрашенная).
5. Определим знаки выражения в полученных интервалах.
- Для интервала $(5, +\infty)$ возьмем $x=6$: $\frac{6-5}{6(6+7)} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(0, 5)$ возьмем $x=1$: $\frac{1-5}{1(1+7)} < 0$. Знак "-".
- Для интервала $(-7, 0)$ возьмем $x=-1$: $\frac{-1-5}{-1(-1+7)} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(-\infty, -7)$ возьмем $x=-8$: $\frac{-8-5}{-8(-8+7)} < 0$. Знак "-".
6. Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак "-"). Учитывая, что точка $5$ входит в решение, получаем объединение интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (0, 5]$.

2.10 a) $\frac{3x - 2}{2x - 3} > 3;$

б) $\frac{x + 3}{x - 2} < 1;$

В) $\frac{7x - 4}{x + 2} \ge 1;$

Г) $\frac{7x - 5}{x + 5} < 7.$

а)

Решим неравенство $\frac{3x - 2}{2x - 3} > 3$.

Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3x - 2}{2x - 3} - 3 > 0$

$\frac{3x - 2 - 3(2x - 3)}{2x - 3} > 0$

$\frac{3x - 2 - 6x + 9}{2x - 3} > 0$

$\frac{-3x + 7}{2x - 3} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корень числителя: $-3x + 7 = 0 \implies 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3}$.

Корень знаменателя: $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на интервалах $(-\infty; \frac{3}{2})$, $(\frac{3}{2}; \frac{7}{3})$ и $(\frac{7}{3}; +\infty)$.

При $x < \frac{3}{2}$, например $x=0$, получаем $\frac{7}{-3} < 0$.

При $\frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$, например $x=2$, получаем $\frac{-6+7}{4-3} = 1 > 0$.

При $x > \frac{7}{3}$, например $x=3$, получаем $\frac{-9+7}{6-3} = -\frac{2}{3} < 0$.

Нам нужны значения, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (\frac{3}{2}; \frac{7}{3})$.

б)

Решим неравенство $\frac{x + 3}{x - 2} < 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x + 3}{x - 2} - 1 < 0$

$\frac{x + 3 - (x - 2)}{x - 2} < 0$

$\frac{x + 3 - x + 2}{x - 2} < 0$

$\frac{5}{x - 2} < 0$

Числитель дроби — положительное число (5). Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным:

$x - 2 < 0$

$x < 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

в)

Решим неравенство $\frac{7x - 4}{x + 2} \ge 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{7x - 4}{x + 2} - 1 \ge 0$

$\frac{7x - 4 - (x + 2)}{x + 2} \ge 0$

$\frac{7x - 4 - x - 2}{x + 2} \ge 0$

$\frac{6x - 6}{x + 2} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корень числителя: $6x - 6 = 0 \implies 6x = 6 \implies x = 1$. Эта точка включается в решение, так как неравенство нестрогое.

Корень знаменателя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Эта точка не включается в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 1]$ и $[1; +\infty)$.

При $x < -2$, например $x=-3$, получаем $\frac{6(-3)-6}{-3+2} = \frac{-24}{-1} = 24 > 0$.

При $-2 < x < 1$, например $x=0$, получаем $\frac{-6}{2} = -3 < 0$.

При $x \ge 1$, например $x=2$, получаем $\frac{6(2)-6}{2+2} = \frac{6}{4} > 0$.

Нам нужны значения, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup [1; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $\frac{7x - 5}{x + 5} < 7$.

Перенесем 7 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{7x - 5}{x + 5} - 7 < 0$

$\frac{7x - 5 - 7(x + 5)}{x + 5} < 0$

$\frac{7x - 5 - 7x - 35}{x + 5} < 0$

$\frac{-40}{x + 5} < 0$

Числитель дроби — отрицательное число (-40). Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть положительным:

$x + 5 > 0$

$x > -5$

Ответ: $x \in (-5; +\infty)$.