Страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.22 а) $|4x+3| > 5;

б) $6 - |3x+1| > 0;

В) $|3-2x| \ge 9;

Г) $4 - |3+2x| \le 0.$

а) Решим неравенство $|4x + 3| > 5$.
Неравенство с модулем вида $|f(x)| > a$, где $a > 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.
В нашем случае получаем совокупность:
$4x + 3 > 5$ или $4x + 3 < -5$.
Решим первое неравенство:
$4x > 5 - 3$
$4x > 2$
$x > \frac{2}{4}$
$x > \frac{1}{2}$
Решим второе неравенство:
$4x < -5 - 3$
$4x < -8$
$x < \frac{-8}{4}$
$x < -2$
Объединяя полученные решения, находим, что $x$ принадлежит объединению интервалов $(-\infty; -2)$ и $(\frac{1}{2}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) Решим неравенство $6 - |3x + 1| > 0$.
Сначала преобразуем неравенство, чтобы изолировать выражение с модулем:
$6 > |3x + 1|$, что эквивалентно $|3x + 1| < 6$.
Неравенство с модулем вида $|f(x)| < a$, где $a > 0$, равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.
Применяя это правило, получаем:
$-6 < 3x + 1 < 6$
Вычтем 1 из всех частей двойного неравенства:
$-6 - 1 < 3x < 6 - 1$
$-7 < 3x < 5$
Разделим все части на 3:
$-\frac{7}{3} < x < \frac{5}{3}$
Решением является интервал от $-\frac{7}{3}$ до $\frac{5}{3}$.
Ответ: $x \in (-\frac{7}{3}; \frac{5}{3})$.

в) Решим неравенство $|3 - 2x| \ge 9$.
Неравенство с модулем вида $|f(x)| \ge a$, где $a > 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.
В данном случае имеем:
$3 - 2x \ge 9$ или $3 - 2x \le -9$.
Решим первое неравенство:
$-2x \ge 9 - 3$
$-2x \ge 6$
При делении на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{6}{-2}$
$x \le -3$
Решим второе неравенство:
$-2x \le -9 - 3$
$-2x \le -12$
Снова делим на -2 и меняем знак неравенства:
$x \ge \frac{-12}{-2}$
$x \ge 6$
Объединяя решения, получаем, что $x$ принадлежит объединению интервалов $(-\infty; -3]$ и $[6; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [6; +\infty)$.

г) Решим неравенство $4 - |3 + 2x| \le 0$.
Преобразуем неравенство, чтобы изолировать модуль:
$4 \le |3 + 2x|$, что эквивалентно $|3 + 2x| \ge 4$.
Это неравенство вида $|f(x)| \ge a$, где $a > 0$, которое равносильно совокупности $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.
Получаем совокупность:
$3 + 2x \ge 4$ или $3 + 2x \le -4$.
Решим первое неравенство:
$2x \ge 4 - 3$
$2x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{2}$
Решим второе неравенство:
$2x \le -4 - 3$
$2x \le -7$
$x \le -\frac{7}{2}$
Объединяя решения, получаем, что $x$ принадлежит объединению интервалов $(-\infty; -\frac{7}{2}]$ и $[\frac{1}{2}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{7}{2}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$.

1.23 Найдите, при каких значениях параметра $p$ уравнение $(p+4)x^2 + 2px + 2 = 0$ имеет:

а) один корень;

б) два корня;

в) хотя бы один корень.

Данное уравнение $(p + 4)x^2 + 2px + 2 = 0$ является уравнением, зависящим от параметра $p$. Его вид (линейное или квадратное) и количество корней зависят от значения $p$.

Сначала рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ обращается в ноль. Это превращает уравнение в линейное.

$p + 4 = 0 \Rightarrow p = -4$.

При $p = -4$ уравнение принимает вид:

$0 \cdot x^2 + 2(-4)x + 2 = 0$

$-8x + 2 = 0$

$-8x = -2$

$x = \frac{1}{4}$

Таким образом, при $p = -4$ уравнение имеет ровно один корень.

Теперь рассмотрим случай, когда уравнение является квадратным, то есть $p + 4 \neq 0$, или $p \neq -4$. В этом случае количество корней зависит от знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a = p+4$, $b=2p$, $c=2$.

Вычислим дискриминант:

$D = (2p)^2 - 4 \cdot (p + 4) \cdot 2 = 4p^2 - 8(p + 4) = 4p^2 - 8p - 32$.

Для определения знака $D$ проанализируем выражение $4p^2 - 8p - 32$. Найдем его корни, решив уравнение $4p^2 - 8p - 32 = 0$. Разделим обе части на 4:

$p^2 - 2p - 8 = 0$.

Используя теорему Виета или формулу корней квадратного уравнения, находим корни:

$p_1 = 4$, $p_2 = -2$.

Графиком функции $y(p) = p^2 - 2p - 8$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно:

• При $D > 0$, то есть при $p \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• При $D = 0$, то есть при $p = -2$ или $p = 4$, уравнение имеет один действительный корень (кратности 2).
• При $D < 0$, то есть при $p \in (-2, 4)$, уравнение не имеет действительных корней.

Теперь объединим полученные результаты для ответа на каждый из вопросов.

а) один корень

Уравнение имеет ровно один корень в двух ситуациях:

1. Когда уравнение является линейным, что происходит при $p = -4$.

2. Когда уравнение является квадратным ($p \neq -4$) и его дискриминант равен нулю ($D = 0$). Это происходит при $p = -2$ и $p = 4$.

Объединяя эти значения, получаем искомое множество.

Ответ: $p \in \{-4, -2, 4\}$.

б) два корня

Уравнение имеет два различных корня, когда оно является квадратным ($p \neq -4$) и его дискриминант строго положителен ($D > 0$).

Условие $D > 0$ выполняется для $p \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.

Из этого множества необходимо исключить значение $p = -4$, при котором уравнение не является квадратным. Так как $-4$ принадлежит интервалу $(-\infty, -2)$, мы должны его "выколоть".

Таким образом, итоговое множество значений для $p$ следующее.

Ответ: $p \in (-\infty, -4) \cup (-4, -2) \cup (4, \infty)$.

в) хотя бы один корень

Уравнение имеет хотя бы один корень, если оно имеет один или два корня. Это соответствует случаям $D \geq 0$ для квадратного уравнения, а также случаю, когда уравнение является линейным.

Это условие выполняется, если $p$ принадлежит объединению множеств, найденных в пунктах а) и б):

$\{-4, -2, 4\} \cup ((-\infty, -4) \cup (-4, -2) \cup (4, \infty)) = (-\infty, -2] \cup [4, \infty)$.

Альтернативный подход — найти значения $p$, при которых корней нет, и исключить их из множества всех действительных чисел. Уравнение не имеет корней, когда оно квадратное ($p \neq -4$) и $D < 0$. Это соответствует $p \in (-2, 4)$. Таким образом, при всех остальных значениях $p$ уравнение будет иметь хотя бы один корень.

Ответ: $p \in (-\infty, -2] \cup [4, \infty)$.

1.24 Найдите такое целочисленное значение параметра $p$, при котором во множестве решений неравенства $(x+2)(p-x) \ge 0$ содержатся:

a) четыре целых числа;

б) два натуральных числа;

в) два целых числа;

г) одно целое число.

Исходное неравенство: $(x + 2)(p - x) \ge 0$. Параметр $p$ — целое число. Преобразуем неравенство, умножив обе части на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный: $(x + 2)(-(x - p)) \ge 0$, что эквивалентно $(x + 2)(x - p) \le 0$.

Это квадратичное неравенство относительно переменной $x$. Корни соответствующего уравнения $(x + 2)(x - p) = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = p$. Решение неравенства зависит от взаимного расположения корней на числовой оси. Так как $p$ — целое число, рассмотрим три случая.

Случай 1: $p < -2$
В этом случае $p$ находится левее, чем $-2$. Решением неравенства $(x - p)(x - (-2)) \le 0$ является отрезок между корнями: $x \in [p, -2]$. Количество целых чисел в этом отрезке, так как $p$ и $-2$ — целые, равно $(-2) - p + 1 = -p - 1$.

Случай 2: $p = -2$
Неравенство принимает вид $(x + 2)(x - (-2)) \le 0$, то есть $(x + 2)^2 \le 0$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($(x + 2)^2 \ge 0$), единственным решением является равенство $x + 2 = 0$, откуда $x = -2$. Множество решений состоит из одного целого числа.

Случай 3: $p > -2$
В этом случае $p$ находится правее, чем $-2$. Решением неравенства является отрезок $x \in [-2, p]$. Количество целых чисел в этом отрезке равно $p - (-2) + 1 = p + 3$.

Теперь решим каждую из поставленных задач, используя эти случаи.

а) четыре целых числа

Требуется, чтобы множество решений содержало ровно четыре целых числа.

- В случае 1 ($p < -2$): количество целых чисел равно $-p - 1$. Приравниваем это количество к четырем: $-p - 1 = 4$, откуда получаем $-p = 5$, то есть $p = -5$. Это значение удовлетворяет условию $p < -2$. При $p = -5$ решением является отрезок $[-5, -2]$, который содержит целые числа $\{-5, -4, -3, -2\}$ — их ровно четыре.

- В случае 2 ($p = -2$): решение содержит только одно целое число, что не удовлетворяет условию.

- В случае 3 ($p > -2$): количество целых чисел равно $p + 3$. Приравниваем это количество к четырем: $p + 3 = 4$, откуда получаем $p = 1$. Это значение удовлетворяет условию $p > -2$. При $p = 1$ решением является отрезок $[-2, 1]$, который содержит целые числа $\{-2, -1, 0, 1\}$ — их ровно четыре.

Таким образом, подходят два значения параметра: $p = -5$ и $p = 1$. В задаче требуется найти одно такое значение.

Ответ: $p = 1$ (или $p = -5$).

б) два натуральных числа

Натуральные числа — это целые положительные числа $\{1, 2, 3, ...\}$. Требуется, чтобы множество решений содержало ровно два натуральных числа.

- В случае 1 ($p < -2$): решением является отрезок $x \in [p, -2]$. Все числа в этом отрезке неположительные, поэтому натуральных чисел среди решений нет.

- В случае 2 ($p = -2$): решение $x = -2$. Натуральных чисел нет.

- В случае 3 ($p > -2$): решением является отрезок $x \in [-2, p]$. Натуральные числа могут входить в этот отрезок только если $p \ge 1$. В этом случае натуральными решениями будут числа $\{1, 2, ..., p\}$. Их количество равно $p$. По условию, это количество должно быть равно двум, следовательно, $p = 2$. Это значение удовлетворяет условию $p > -2$. При $p = 2$ решением является отрезок $[-2, 2]$, который содержит натуральные числа $\{1, 2\}$.

Ответ: $p = 2$.

в) два целых числа

Требуется, чтобы множество решений содержало ровно два целых числа.

- В случае 1 ($p < -2$): количество целых чисел равно $-p - 1$. Приравниваем это количество к двум: $-p - 1 = 2$, откуда $-p = 3$, то есть $p = -3$. Это значение удовлетворяет условию $p < -2$. При $p = -3$ решением является отрезок $[-3, -2]$, который содержит целые числа $\{-3, -2\}$.

- В случае 2 ($p = -2$): решение содержит только одно целое число.

- В случае 3 ($p > -2$): количество целых чисел равно $p + 3$. Приравниваем это количество к двум: $p + 3 = 2$, откуда $p = -1$. Это значение удовлетворяет условию $p > -2$. При $p = -1$ решением является отрезок $[-2, -1]$, который содержит целые числа $\{-2, -1\}$.

Таким образом, подходят два значения параметра: $p = -3$ и $p = -1$.

Ответ: $p = -1$ (или $p = -3$).

г) одно целое число

Требуется, чтобы множество решений содержало ровно одно целое число.

- В случае 1 ($p < -2$): количество целых чисел равно $-p - 1$. Уравнение $-p - 1 = 1$ дает $p = -2$, что противоречит условию $p < -2$. Решений в этом случае нет.

- В случае 2 ($p = -2$): решением является единственное число $x = -2$. Это ровно одно целое число. Следовательно, $p = -2$ является решением.

- В случае 3 ($p > -2$): количество целых чисел равно $p + 3$. Уравнение $p + 3 = 1$ дает $p = -2$, что противоречит условию $p > -2$. Решений в этом случае нет.

Таким образом, единственное подходящее значение параметра — это $p = -2$.

Ответ: $p = -2$.

1.25 Найдите такое натуральное значение параметра $p$, при котором во множестве решений неравенства $(7 - x)(p - x) < 0$:

a) содержатся три натуральных числа;

б) не содержится ни одного целого числа.

Сначала преобразуем данное неравенство. Исходное неравенство $(7 - x)(p - x) < 0$ равносильно неравенству $(x - 7)(x - p) < 0$.

Это квадратичное неравенство относительно $x$. Корнями соответствующего уравнения $(x - 7)(x - p) = 0$ являются $x_1 = 7$ и $x_2 = p$. Решением неравенства является интервал между корнями.

Поскольку по условию $p$ — натуральное число, то $p \neq 7$. Если бы $p = 7$, неравенство приняло бы вид $(x - 7)^2 < 0$, что не имеет решений. Следовательно, мы должны рассмотреть два случая в зависимости от соотношения между $p$ и 7.

Случай 1: $p > 7$. В этом случае решением неравенства является интервал $(7, p)$.

Случай 2: $p < 7$. В этом случае решением неравенства является интервал $(p, 7)$.

а) содержит три натуральных числа;

Рассмотрим оба случая, чтобы найти подходящее значение $p$.

В Случае 1 ($p > 7$), множество решений — это интервал $(7, p)$. Мы ищем такое натуральное $p$, чтобы этот интервал содержал ровно три натуральных числа. Натуральные числа, большие 7, — это 8, 9, 10, 11, и так далее. Чтобы в интервале $(7, p)$ было ровно три натуральных числа, это должны быть числа 8, 9 и 10. Это означает, что число 10 должно принадлежать интервалу, а число 11 — не должно. Таким образом, должны выполняться условия $p > 10$ и $p \le 11$. Единственное натуральное число $p$, удовлетворяющее двойному неравенству $10 < p \le 11$, — это $p = 11$.

В Случае 2 ($p < 7$), множество решений — это интервал $(p, 7)$. Мы ищем такое натуральное $p$, чтобы этот интервал содержал ровно три натуральных числа. Натуральные числа в этом интервале — это $p+1, p+2, \dots, 6$. Количество натуральных чисел в этом списке равно $6 - (p+1) + 1 = 6 - p$. По условию, это количество равно трем. Составим уравнение: $6 - p = 3$. Отсюда находим $p = 3$. Поскольку $p=3$ — натуральное число и $3 < 7$, это значение подходит.

Таким образом, условию удовлетворяют два значения параметра: $p=3$ и $p=11$. Так как в задаче просят найти одно такое значение, можно выбрать любое из них.

Ответ: $p = 3$ (или $p = 11$).

б) не содержится ни одного целого числа.

Рассмотрим оба случая, чтобы найти подходящее значение $p$.

В Случае 1 ($p > 7$), множество решений — это интервал $(7, p)$. Чтобы этот интервал не содержал ни одного целого числа, он не должен включать наименьшее целое число, большее 7, то есть 8. Это означает, что правая граница интервала $p$ должна быть меньше или равна 8, то есть $p \le 8$. Учитывая условие $p > 7$ для этого случая, получаем двойное неравенство $7 < p \le 8$. Единственное натуральное число $p$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $p = 8$.

В Случае 2 ($p < 7$), множество решений — это интервал $(p, 7)$. Чтобы этот интервал не содержал ни одного целого числа, между числами $p$ и 7 не должно быть целых чисел. Это означает, что наименьшее целое число, большее $p$, должно быть не меньше 7. То есть, $p+1 \ge 7$, что дает $p \ge 6$. Учитывая условие $p < 7$ для этого случая, получаем двойное неравенство $6 \le p < 7$. Единственное натуральное число $p$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $p = 6$.

Таким образом, условию удовлетворяют два значения параметра: $p=6$ и $p=8$. Так как в задаче просят найти одно такое значение, можно выбрать любое из них.

Ответ: $p = 6$ (или $p = 8$).

1.26 Найдите такое натуральное значение параметра $p$, при котором во множестве решений неравенства $(x - 8)(p + x) \le 0$ содержатся:

а) десять целых чисел;

б) два отрицательных целых числа;

в) четыре целых неположительных числа;

г) только положительные целые числа.

Для решения задачи сначала проанализируем данное неравенство: $(x-8)(p+x) \le 0$. Это квадратичное неравенство относительно переменной $x$. Корни соответствующего уравнения $(x-8)(p+x) = 0$ равны $x_1 = 8$ и $x_2 = -p$. По условию, $p$ — натуральное число, то есть $p \in \{1, 2, 3, \ldots\}$. Следовательно, $x_2 = -p$ является отрицательным целым числом, и всегда выполняется условие $-p < 8$. Решением неравенства вида $(x-a)(x-b) \le 0$ при $a>b$ является промежуток $[b, a]$. В нашем случае решением является промежуток $[-p, 8]$.

а) десять целых чисел;

Множество решений неравенства — промежуток $[-p, 8]$. Нам нужно найти такое натуральное $p$, при котором этот промежуток содержит ровно десять целых чисел. Целые числа, входящие в этот промежуток: $-p, -p+1, \ldots, -1, 0, 1, \ldots, 8$. Количество целых чисел в замкнутом промежутке $[a, b]$, где $a$ и $b$ — целые, вычисляется по формуле $b - a + 1$. В нашем случае количество целых чисел равно $8 - (-p) + 1 = 8 + p + 1 = p + 9$. По условию, это количество должно быть равно десяти: $p + 9 = 10$ $p = 10 - 9$ $p = 1$ Значение $p=1$ является натуральным числом.

Ответ: $1$.

б) два отрицательных целых числа;

Отрицательные целые числа, содержащиеся в промежутке $[-p, 8]$, — это числа из множества $\{-p, -p+1, \ldots, -1\}$. Количество таких чисел равно $(-1) - (-p) + 1 = -1 + p + 1 = p$. По условию, количество отрицательных целых чисел должно быть равно двум: $p = 2$ Значение $p=2$ является натуральным числом.

Ответ: $2$.

в) четыре целых неположительных числа;

Неположительные целые числа — это отрицательные целые числа и ноль. Неположительные целые числа, содержащиеся в промежутке $[-p, 8]$, — это числа из множества $\{-p, -p+1, \ldots, -1, 0\}$. Количество таких чисел равно $0 - (-p) + 1 = p + 1$. По условию, это количество должно быть равно четырем: $p + 1 = 4$ $p = 4 - 1$ $p = 3$ Значение $p=3$ является натуральным числом.

Ответ: $3$.

г) только положительные целые числа.

Множество решений неравенства — промежуток $[-p, 8]$. Множество целых решений должно содержать только положительные числа. Поскольку $p$ — натуральное число, $p \ge 1$, то левая граница промежутка $-p \le -1$. Это означает, что промежуток $[-p, 8]$ всегда содержит число $0$, так как $-p \le 0 \le 8$. Число $0$ является целым, но не является положительным. Следовательно, для любого натурального $p$ множество целых решений неравенства будет содержать как минимум одно неположительное число (ноль). Таким образом, оно не может состоять только из положительных чисел.

Ответ: таких значений $p$ не существует.

Решите неравенство:

2.1 а) $(x + 2)(x + 3) > 0;$

б) $(x + 3)(x - 0,5) < 0;$

в) $\left(x - \frac{1}{4}\right)(x + 4) > 0;$

г) $\left(x - \frac{4}{9}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right) < 0.$

а) $(x + 2)(x + 3) > 0$
Для решения данного квадратного неравенства воспользуемся методом интервалов.
1. Находим корни соответствующего уравнения $(x + 2)(x + 3) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$
$x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$
2. Отмечаем найденные корни на числовой прямой. Эти точки (-3 и -2) разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$ и $(-2; +\infty)$.
3. Определяем знак выражения $(x + 2)(x + 3)$ на каждом из интервалов. Для этого выбираем пробную точку из каждого интервала:
- В интервале $(-\infty; -3)$ возьмем $x = -4$. Подставляем: $(-4 + 2)(-4 + 3) = (-2)(-1) = 2$. Результат положительный (+).
- В интервале $(-3; -2)$ возьмем $x = -2,5$. Подставляем: $(-2,5 + 2)(-2,5 + 3) = (-0,5)(0,5) = -0,25$. Результат отрицательный (-).
- В интервале $(-2; +\infty)$ возьмем $x = 0$. Подставляем: $(0 + 2)(0 + 3) = (2)(3) = 6$. Результат положительный (+).
4. Согласно знаку неравенства ($> 0$), нам нужны интервалы, где выражение положительно.
Таким образом, решением является объединение интервалов $(-\infty; -3)$ и $(-2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; +\infty)$

б) $(x + 3)(x - 0,5) < 0$
Решаем методом интервалов.
1. Находим корни уравнения $(x + 3)(x - 0,5) = 0$:
$x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$
$x - 0,5 = 0 \implies x_2 = 0,5$
2. Отмечаем корни -3 и 0,5 на числовой прямой. Получаем интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0,5)$ и $(0,5; +\infty)$.
3. Определяем знаки выражения на интервалах:
- При $x = -4$: $(-4 + 3)(-4 - 0,5) = (-1)(-4,5) = 4,5 > 0$ (+).
- При $x = 0$: $(0 + 3)(0 - 0,5) = (3)(-0,5) = -1,5 < 0$ (-).
- При $x = 1$: $(1 + 3)(1 - 0,5) = (4)(0,5) = 2 > 0$ (+).
4. Так как знак неравенства ($< 0$), ищем интервал, где выражение отрицательно.
Это интервал $(-3; 0,5)$.
Ответ: $x \in (-3; 0,5)$

в) $\left(x - \frac{1}{4}\right)(x + 4) > 0$
Решаем методом интервалов.
1. Находим корни уравнения $\left(x - \frac{1}{4}\right)(x + 4) = 0$:
$x - \frac{1}{4} = 0 \implies x_1 = \frac{1}{4}$
$x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$
2. Отмечаем корни -4 и $\frac{1}{4}$ на числовой прямой. Получаем интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; \frac{1}{4})$ и $(\frac{1}{4}; +\infty)$.
3. Определяем знаки выражения на интервалах:
- При $x = -5$: $(-5 - \frac{1}{4})(-5 + 4) = (-\frac{21}{4})(-1) = \frac{21}{4} > 0$ (+).
- При $x = 0$: $(0 - \frac{1}{4})(0 + 4) = (-\frac{1}{4})(4) = -1 < 0$ (-).
- При $x = 1$: $(1 - \frac{1}{4})(1 + 4) = (\frac{3}{4})(5) = \frac{15}{4} > 0$ (+).
4. Знак неравенства ($> 0$), поэтому выбираем интервалы со знаком "+".
Это интервалы $(-\infty; -4)$ и $(\frac{1}{4}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup \left(\frac{1}{4}; +\infty\right)$

г) $\left(x - \frac{4}{9}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right) < 0$
Решаем методом интервалов.
1. Находим корни уравнения $\left(x - \frac{4}{9}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right) = 0$:
$x - \frac{4}{9} = 0 \implies x_1 = \frac{4}{9}$
$x - \frac{1}{3} = 0 \implies x_2 = \frac{1}{3}$
2. Сравним корни, чтобы правильно расположить их на прямой: $\frac{1}{3} = \frac{3}{9}$. Так как $\frac{3}{9} < \frac{4}{9}$, корень $x_2$ левее $x_1$. Получаем интервалы: $(-\infty; \frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3}; \frac{4}{9})$ и $(\frac{4}{9}; +\infty)$.
3. Определяем знаки выражения на интервалах:
- При $x = 0$: $(0 - \frac{4}{9})(0 - \frac{1}{3}) = (-\frac{4}{9})(-\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} > 0$ (+).
- В интервале $(\frac{1}{3}; \frac{4}{9})$, то есть между $\frac{3}{9}$ и $\frac{4}{9}$, возьмем $x = \frac{3,5}{9}$. Тогда $(x - \frac{4}{9})$ будет отрицательным, а $(x - \frac{1}{3})$ — положительным. Произведение будет отрицательным (-).
- При $x = 1$: $(1 - \frac{4}{9})(1 - \frac{1}{3}) = (\frac{5}{9})(\frac{2}{3}) = \frac{10}{27} > 0$ (+).
4. Знак неравенства ($< 0$), поэтому ищем интервал со знаком "-".
Это интервал $(\frac{1}{3}; \frac{4}{9})$.
Ответ: $x \in \left(\frac{1}{3}; \frac{4}{9}\right)$

2.2 a) $t(t-1) < 0;$

б) $t \left(t - \frac{1}{4}\right) (t - 12) \ge 0;$

В) $t(t+3) > 0;$

Г) $t(t+8)(t - 1,2) \le 0.$

а) Чтобы решить неравенство $t(t-1) < 0$, применим метод интервалов. Сначала найдем корни уравнения $t(t-1) = 0$. Корнями являются $t_1 = 0$ и $t_2 = 1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Так как неравенство строгое, сами точки $0$ и $1$ в решение не включаются. Определим знак выражения $t(t-1)$ на каждом из интервалов. Для интервала $(0, 1)$ можно взять пробную точку $t=0.5$. Тогда $0.5(0.5 - 1) = 0.5 \cdot (-0.5) = -0.25$, что меньше нуля. На двух других интервалах выражение будет положительным, так как знаки чередуются. Таким образом, неравенство выполняется на интервале $(0, 1)$.
Ответ: $t \in (0, 1)$.

б) Решим неравенство $t\left(t - \frac{1}{4}\right)(t - 12) \ge 0$ методом интервалов. Найдем корни уравнения $t\left(t - \frac{1}{4}\right)(t - 12) = 0$. Корнями являются $t_1 = 0$, $t_2 = \frac{1}{4}$ и $t_3 = 12$. Расположим эти точки на числовой оси, они разделят ее на четыре интервала. Так как неравенство нестрогое, все корни включаются в решение. Определим знаки выражения на интервалах. Возьмем точку из крайнего правого интервала $(12, +\infty)$, например, $t=13$. Выражение будет положительным: $13\left(13 - \frac{1}{4}\right)(13 - 12) > 0$. Двигаясь справа налево, знаки будут чередоваться: +, −, +, −. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $[0, \frac{1}{4}]$ и $[12, +\infty)$.
Ответ: $t \in \left[0, \frac{1}{4}\right] \cup [12, +\infty)$.

в) Для решения неравенства $t(t+3) > 0$ используем метод интервалов. Корни уравнения $t(t+3) = 0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = -3$. Отметим эти точки на числовой прямой. Они делят прямую на интервалы $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$ и $(0, +\infty)$. Неравенство строгое, поэтому корни не являются частью решения. Выражение $t(t+3)$ представляет собой квадратичную функцию с ветвями параболы, направленными вверх, поэтому оно положительно вне интервала между корнями и отрицательно внутри. Таким образом, выражение больше нуля на интервалах $(-\infty, -3)$ и $(0, +\infty)$.
Ответ: $t \in (-\infty, -3) \cup (0, +\infty)$.

г) Решим неравенство $t(t+8)(t-1.2) \le 0$ методом интервалов. Найдем корни уравнения $t(t+8)(t-1.2) = 0$. Корнями являются $t_1 = -8$, $t_2 = 0$ и $t_3 = 1.2$. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала. Неравенство нестрогое, поэтому корни включаются в решение. Проверим знак выражения на крайнем правом интервале $(1.2, +\infty)$, взяв, например, $t=2$. Получим $2(2+8)(2-1.2) > 0$. Знаки на интервалах, двигаясь справа налево, будут чередоваться: +, −, +, −. Нас интересуют значения, где выражение меньше или равно нулю. Это интервалы $(-\infty, -8]$ и $[0, 1.2]$.
Ответ: $t \in (-\infty, -8] \cup [0, 1.2]$.